量子力学一维定态问题.ppt

第三章第三章 一维定态问题一维定态问题 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 SchrSchrödinger dinger 方程来处理一类简单的问题方程来处理一类简单的问题——一维定态问题其好处一维定态问题其好处有四：有四： （（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理； （（2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理； (3(3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进 行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这 些一维问题中展现出来；些一维问题中展现出来；（（4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础一维问题还是处理各种复杂问题的基础第三章主要内容§1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱 §2 2 线性谐振子线性谐振子 §3 3 一维势散射问题一维势散射问题§1 1一维无限深势阱一维无限深势阱l（一）一维运动（一）一维运动 l（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱 l（三）宇称（三）宇称 l（四）讨论（四）讨论（一）（一） 一维运动一维运动所谓一维运动就所谓一维运动就是指在某一方向是指在某一方向上的运动。

上的运动此方程是一个二阶偏微分方程若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程若势可写成： V(x,y,z) = VV(x,y,z) = V1 1(x) + V(x) + V2 2(y) + V(y) + V3 3(z) (z) 形式，则形式，则 S-S-方程可在直角坐标系中分离变量方程可在直角坐标系中分离变量令令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = E E = Ex x + + E Ey y + + E Ez z于是于是S-S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程：当粒子在当粒子在势场 V(x,y,z) 中运中运动时，其，其 Schrödinger 方程方程为：：其中其中数学预备知识数学预备知识微分方程　　　　　　　　　微分方程　　　　　　　　　 　　的三种的三种等价等价的解 A）C）B）若若 用用 代入代入,则则微分方微分方程变为：程变为：其解为：其解为：（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱求解求解 S S — 方程方程 分四步：分四步： （（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S S—方程方程 （（2 2）解方程）解方程 （（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 （（4 4）定归一化系数）定归一化系数V(x)IIIIII0（（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S — 方程方程方程可方程可 简化为：简化为： 0 V(x)IIIIII势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域， 用用 I I 、、II II 和和 III III 表示，表示， 其上的波函数分别为其上的波函数分别为 ψψI I(x),ψ(x),ψIIII(x) (x) 和和 ψψIIIIII (x) (x)。

则方程为：则方程为： 2 2（（3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0ψ(-a) = ψ(a) = 0 0V(x)IIIIII  1.1.单值，成立；单值，成立； 2.2.有限：当有限：当x x  - ∞ - ∞ ，， ψ ψ 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0使用标准条件使用标准条件 3-3-连续：连续： 2 2）波函数导数连续：）波函数导数连续： 在边界在边界 x = -ax = -a，，势有无穷跳跃，波函数微商不连续这是因为：势有无穷跳跃，波函数微商不连续这是因为： 若若ψψI I(-a)(-a)’ = ψ = ψIIII(-a)(-a)’，， 则有，则有，0 = A 0 = A αcos(-αaαcos(-αa + δ) + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二矛盾，二者不能同时成立。

所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续者不能同时成立所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续1 1）波函数连续：）波函数连续：- 0 V(x)IIIIII(1)+(2)(2)-(1)两种情况：两种情况：由（由（4 4）式）式讨论讨论状态不存在状态不存在描写同一状态描写同一状态所以所以 n n 只取正整数，即只取正整数，即于是：于是：或或于是波于是波函数：函数：由（由（3 3）式）式类似类似 I I 中关于中关于 n = n =   m m 的讨论的讨论可知：可知：综合综合 I I 、、II II 结果，最后得：结果，最后得：对应对应 m = 2 nm = 2 n对应对应 m = 2n+1m = 2n+1能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，在无限远处，ψ = 0 ψ = 0 这样的状态，称为束缚态一维有限运动能量这样的状态，称为束缚态。

一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱本征值是分立能级，组成分立谱4 4）由归一化条件定系数）由归一化条件定系数 A A[ [小结小结] ] 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解S S—方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的一、列出各势域上的S S—方程；方程； 二、求解二、求解S S—方程；方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；知数和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）（三）宇称（三）宇称（（1 1）空间反射：空间矢量反向的操作空间反射：空间矢量反向的操作2 2）此时如果有：）此时如果有： 称波函数具有称波函数具有正宇称（正宇称（或偶宇称或偶宇称））；；称波函数具有称波函数具有负宇称（负宇称（或奇宇称或奇宇称））；；（（3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，则波函数没有确定的宇称则波函数没有确定的宇称（四）讨论（四）讨论一维无限深一维无限深 势阱中粒子势阱中粒子 的状态的状态（（2））n = 0 , E = 0, ψ = 0，，态不存在，无意不存在，无意义。

而而n = ± k, k=1,2,...可见，可见，n n取负整数与正整数描写同一状态取负整数与正整数描写同一状态1 1））n = 1, n = 1, 基态，基态， 与经典最低能量为零不同，与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表这是微观粒子波动性的表 现，因为现，因为“静止的波静止的波”是没是没 有意义的有意义的（（4 4））ψψn n* *(x) = ψ(x) = ψn n(x) (x) 即波函数是实函数即波函数是实函数 5 5 ））定定 态 波波 函函 数数（（3 3）波函数宇称）波函数宇称(1)(1)粒子能量不能取连续值粒子能量不能取连续值能量取分立值（能级），能量取分立值（能级），能量量子化能量量子化是粒是粒子处于束缚态所具有的性质子处于束缚态所具有的性质讨讨 论：论：( (曾谨言曾谨言《《量子力学量子力学》》卷卷1 1（第四版）（第四版） P66P66一维无限深势阱一维无限深势阱（（2 2）粒子的最小能量不等于零）粒子的最小能量不等于零最小能量最小能量 也也称为基态能或零点能。

称为基态能或零点能零点能的存在与不确定度关系协调一致零点能的存在与不确定度关系协调一致(3)(3)粒子在势阱内出现概率密度分布粒子在势阱内出现概率密度分布不受外力的粒子在不受外力的粒子在 到到 范围内范围内出现概率处处相等出现概率处处相等量子论观点量子论观点：a=1=2=3=4nnnna当当 很大很大时，时， 量子量子概率分布概率分布就接近经就接近经典分布典分布经典观点：经典观点：（（4 4）有限深势阱，粒子出现的概率分布）有限深势阱，粒子出现的概率分布 如果势阱不是如果势阱不是无限深，粒子的能无限深，粒子的能量又低于势壁量又低于势壁，，粒粒子在阱外不远处出子在阱外不远处出现的概率不为零现的概率不为零量子数 n 对运动结果的影响 按照经典力学概念，当外界向粒子提供能量时，粒子可获得此能量，而且能量大小可连续变化粒子在阱内任何位置出现的概率也是相等的 改变量子数n的大小，观察图中各曲线的变化,可以看到：能量越高、能级间隔越大，而势阱中粒子的驻波波长越短可以推断，大量子数下的量子理论与经典理论将趋与一致　　n=1对应着粒子的基态能量，称为零点能零点能(zero point energy)。

这个零点能不为零，其本质是微观粒子的运动要受不确定关系的限制得到两相邻能级的能量差得到两相邻能级的能量差例题：例题： 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为为1.0×10-2m和和10-10m 试讨论这两中情况下试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差相邻能级的能量差阱宽为阱宽为 ））解：解： 根据势阱中的能量公式根据势阱中的能量公式当当a=1cm时时 可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量且与粒子的质量m和势阱的宽度和势阱的宽度a有关一维无限深势阱一维无限深势阱 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的们可以把电子的能级看作是连续的当当a=10-10m时时 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来这时电子能量的量子化就明显的表现出来。

一维无限深势阱一维无限深势阱 可见能级的相对间隔可见能级的相对间隔 随着随着n的增加成反比地减的增加成反比地减小当 时时 ，， 较之较之 要小的多这要小的多这时，能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续时，能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋于一致所以，经典物理可的，经典图样和量子图样趋于一致所以，经典物理可以看作是量子物理中量子数以看作是量子物理中量子数 时的极限情况时的极限情况当当 时时 ,能级的相对间隔近似为能级的相对间隔近似为一维无限深势阱一维无限深势阱 例题：例题： 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的位置值的位置 ( (阱宽为阱宽为 ））解：解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为一维无限深势阱中粒子的概率密度为将上式对将上式对x求导一次，并令它等于零求导一次，并令它等于零因为在阱内，即因为在阱内，即只有只有一维无限深势阱一维无限深势阱于是于是由此解得最大值得位置为由此解得最大值得位置为例如例如 最大值位置最大值位置最大值位置最大值位置最大值位置最大值位置可见，概率密度最大值的数目和量子数可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。

相等一维无限深势阱一维无限深势阱 这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致成为均匀，与经典理论的结论趋于一致相邻两个最大值之间的距离相邻两个最大值之间的距离如果阱宽如果阱宽a不变，当不变，当时时一维无限深势阱一维无限深势阱 例例:证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有下面具有下面正交性正交性的性质：的性质：即不同能级的波函数互相正交即不同能级的波函数互相正交 解解: 波函数波函数 取其复共轭取其复共轭 相乘并积分，得相乘并积分，得 把波函数的正交性和归一性表示在一起，把波函数的正交性和归一性表示在一起，其中其中 当当m = n 时时 ,  mn = 1 当当m   n 时时 ,  mn = 0  mn 称为克罗内克符号称为克罗内克符号 思考•当缓慢将势场向左右两边拉开时，能级和波函数怎样变？•当以相当快的速度将势场向左右两边拉开时，能级和波函数怎样变？•当势场整体向左或向右移动后，能级和波函数怎样变？有限深对称方势阱有限深对称方势阱仅讨论束缚态（仅讨论束缚态（0＜＜E＜＜V0））情况。

情况粒子所满足的定态粒子所满足的定态S-方程为：方程为： 按阱内与阱外二个区求解按阱内与阱外二个区求解阱外区阱外区，，定态定态S-方程为：方程为： →令令得一般解为：得一般解为：考虑到无穷远波函数为考虑到无穷远波函数为0，得：，得：阱内区阱内区，，定态定态S-方程为：方程为： 其解为：　　　　　　　　　　　　　，　　其解为：　　　　　　　　　　　　　，　　阱外为：阱外为：由于势能是对称的，由于势能是对称的，V(x)=V(-x), 故波函数一定具有故波函数一定具有确定宇称确定宇称b)　奇宇称态奇宇称态(a)　偶宇称态偶宇称态1）在）在偶宇称态偶宇称态下，要求波函数下，要求波函数ψ与其一阶导数与其一阶导数ψ′′在在x=a/2连续（在连续（在x=－－a/2连续的结果相同），得：连续的结果相同），得：得　　　　　　　，联立得　　　　　　　，联立令 偶宇称下能谱的确定2）在）在奇宇称态奇宇称态下，要求波函数下，要求波函数ψ与其一阶导数与其一阶导数ψ′′在在x=a/2连续（在连续（在x=－－a/2连续的结果相同），得：连续的结果相同），得：得　　　　　　　，联立得　　　　　　　，联立令 奇宇称下能谱的确定从图上可以看出，偶宇称态至少有一个解，即基态一定从图上可以看出，偶宇称态至少有一个解，即基态一定存在。

当　　　　　　　，出现偶宇称第一激发态当　　　　　　　，出现偶宇称第一激发态对于奇宇称态，当　　　　　　　，才出现奇宇称最低对于奇宇称态，当　　　　　　　，才出现奇宇称最低能级态波函数的确定波函数的确定，由，由E可定出可定出 、、 , 再由再由ψ分别在分别在x=±a/2连续，可以定出连续，可以定出A，，C（（奇宇称波函数）或奇宇称波函数）或A，，D（（偶宇称波函数）偶宇称波函数）讨论：一维无限深势阱的结果可作为一维方势阱的特例得出对偶宇称：对奇宇称：（1）（2）综合（1）和（2）得到：当上式正式宽度为 的一维无限深势阱的能谱公式！！答案：答案：t g ka=- k/k1 例、一粒子（质量例、一粒子（质量m））处半无限深势阱，求粒子能量处半无限深势阱，求粒子能量 E（（0＜＜E＜＜V0)所满足的关系式求证至少有一个解的所满足的关系式求证至少有一个解的条件为：条件为：§2 2 线性谐振子线性谐振子（一）引言（一）引言 l（（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子 l（（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子 （二）线性谐振子（二）线性谐振子 l（（1 1）方程的建立）方程的建立 l（（2 2）求解）求解 l（（3 3）应用标准条件）应用标准条件 l（（4 4）厄密多项式）厄密多项式 l（（5 5）求归一化系数）求归一化系数 l（（6 6））讨论（三）实例（三）实例（一）引言（一）引言（（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子量量子子力力学学中中的的线线性性谐谐振振子子就就是是指指在在该该式式所所描描述述的势场中运动的粒子的势场中运动的粒子。

在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为   的粒子，的粒子，受弹性力受弹性力F = - F = - kxkx作用，由牛顿第二作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：定律可以写出运动方程为：其解为其解为 x = x = Asin(ωAsin(ω t + δ) t + δ)这种运动称为简这种运动称为简谐振动谐振动, ,作这种运动的粒子叫谐振子作这种运动的粒子叫谐振子若取若取V V0 0 = 0 = 0，，即即平衡位置处于势平衡位置处于势 V = 0 V = 0 点，则点，则（（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动简谐振动往往还作为复杂运以分解成若干彼此独立的一维简谐振动简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。

是很重要的 例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V是二者相对距离是二者相对距离x x的的函数，如图所示在函数，如图所示在 x = a x = a 处，处，V V 有一极小值有一极小值V V0 0 在在 x = a x = a 附近势附近势可以展开成泰勒级数：可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0取新坐标原点为取新坐标原点为(a, V(a, V0 0) )，，则势可表示为标准谐振子势的形式：则势可表示为标准谐振子势的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述！往可以用线性谐振动来近似描述！（二）线性谐振子（二）线性谐振子（（1 1）方程的建立）方程的建立 （（2 2）求解）求解 （（3 3）应用标准条件）应用标准条件 （（4 4）厄密多项式）厄密多项式 （（5 5）求归一化系数）求归一化系数 （（6 6））讨论（（1 1）方程的建立）方程的建立线性谐振子的线性谐振子的 HamiltonHamilton量：量：则 Schrödinger 方程可写方程可写为 ：：为简单计，为简单计， 引入无量纲变量引入无量纲变量ξξ代替代替x x，，此式是一变系数此式是一变系数 二阶常微分方程二阶常微分方程（（2 2）求解）求解为求解方程，我们先看一下它的渐为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当近解，即当 ξ→ξ→±∞ ∞ 时波函数时波函数 ψψ的行为。

在此情况下，的行为在此情况下，λ<< ξλ<< ξ2 2，， 于是方程变为：于是方程变为：其解为：其解为：ψψ∞∞ =exp[ =exp[±ξξ2 2/2]/2]，，1. 1. 渐近解渐近解欲验证解的正确性，可欲验证解的正确性，可将其代回方程，将其代回方程，波函数有限性波函数有限性条件：条件：当当ξ→ξ→±∞ ∞ 时，应时，应有有 c c2 2 = 0 = 0，，因整个波函数尚未归一化，因整个波函数尚未归一化，所以所以c c1 1可以令其等于可以令其等于1 1最后渐近波函数为：后渐近波函数为：ξξ2 2 >> >> ± 1 1其中其中 H(ξ) H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件即：条件即： ① ① 当当ξξ有限时，有限时，H(ξ)H(ξ)有限；有限； ② ② 当当ξ→∞ξ→∞时，时，H(ξ)H(ξ)的行为要保证的行为要保证ψ(ξ)→ 0ψ(ξ)→ 0。

将将ψ(ξ)ψ(ξ)表达式表达式代入方程得代入方程得 关于关于 待求函数待求函数 H(ξ) H(ξ) 所满足的方程：所满足的方程：2. H(ξ)2. H(ξ)满足的方程满足的方程3.3.级数解级数解我们以级数形式来我们以级数形式来求解 为此令：为此令：用用 k k 代替代替 k k’由上式可以看出：由上式可以看出： b b0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数； b b1 1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数为奇数的系数 因为方程是二阶微分方程，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解可分别令：线性独立解可分别令：b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).即：即： b bk+2k+2(k+2)(k+1)- (k+2)(k+1)- b bk k 2k + b 2k + bk k(λ-1) = 0 (λ-1) = 0 从而导出系数从而导出系数 b bk k 的递推公式：的递推公式：该式对任意该式对任意ξξ都成立，都成立， 故故ξξ同次幂前的系数均应为零，同次幂前的系数均应为零，只含偶次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项则通解可记为：则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]（（3 3）应用标准条件）应用标准条件(I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 = 0 皆有限皆有限(II) ξ→±∞ 需要考需要考虑无无穷级数数H(ξ)的收的收敛性性为此考察相邻为此考察相邻 两项之比：两项之比：考察幂级数考察幂级数exp[ξexp[ξ2 2} }的的 展开式的收敛性展开式的收敛性比较二级数可知：比较二级数可知： 当当ξ→ξ→±∞∞时时，， H(ξ)H(ξ)的渐近的渐近 行为与行为与exp[ξexp[ξ2 2] ]相同。

相同单值性和连续性二条件自然满足，单值性和连续性二条件自然满足， 只剩下第三个有限性条件需只剩下第三个有限性条件需要进行讨论要进行讨论因为因为H(ξ)H(ξ)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性考虑一些特殊点，是一个幂级数，故应考虑他的收敛性考虑一些特殊点， 即势场有跳跃的地方以及即势场有跳跃的地方以及x=0, x → x=0, x → ±∞∞或或ξ=0, ξ→ξ=0, ξ→±∞∞所以总波函数有如下发散行为：所以总波函数有如下发散行为： 为了满足波函数有限性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ)H(ξ) 必须从某一项截断变成一必须从某一项截断变成一个多项式换言之，要求个多项式换言之，要求 H(ξ)H(ξ) 从某一项（比如第从某一项（比如第 n n 项）起项）起 以后各以后各项的系数均为零，即项的系数均为零，即 b bn n ≠ 0, b ≠ 0, bn+2n+2 = 0. = 0. 代入代入递推关系得推关系得：结论结论 基于波函数基于波函数 在无穷远处的在无穷远处的 有限性条件导致了有限性条件导致了 能量必须取能量必须取 分立值。

分立值（（4 4）厄密多项式）厄密多项式附加有限性条件得到了附加有限性条件得到了 H(ξ)H(ξ)的的 一个多项式，该多项式称为厄密一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为多项式，记为 H Hn n(ξ(ξ) )，，于是总波于是总波 函数可表示为：函数可表示为：由上式可以看出，由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次的最高次幂是是 n 其系数是其系数是 2n归一化系数一化系数H Hn n(ξ(ξ) ) 也可写成封闭形式：也可写成封闭形式：λ = 2n+1λ = 2n+1厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系：厄密多项式的递推关系： 应应 用用 实实 例例例：已知例：已知 H H0 0 = 1, H = 1, H1 1=2ξ=2ξ，，则则 根据上述递推关系得出：根据上述递推关系得出： H H2 2 = 2ξH = 2ξH1 1-2nH-2nH0 0 = 4ξ = 4ξ2 2-2-2下面给出前几个厄密下面给出前几个厄密 多项式具体表达式：多项式具体表达式： H H0 0=1 =1 H H2 2=4ξ=4ξ2 2-2 -2 H H4 4 = 16ξ = 16ξ4 4-48ξ-48ξ2 2+12 +12 H H1 1=2ξ =2ξ H H3 3=8ξ=8ξ3 3-12ξ -12ξ H H5 5=32ξ=32ξ5 5-160ξ-160ξ3 3+120ξ+120ξ基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)Ψ(x)的的递推关系：递推关系：（（5 5）求归一化系数）求归一化系数 ( 分分 步步 积 分分 )该式第一项是一个多项式与该式第一项是一个多项式与 exp[-ξexp[-ξ2 2] ] 的的 乘积，当代入上下限乘积，当代入上下限ξ=ξ=±∞∞后，该项为零。

后，该项为零继续分步分步积分到底分到底因为因为H Hn n的最高次项的最高次项 ξξn n的系数是的系数是2 2n n，，所以所以 d dn nH Hn n /dξ /dξn n = 2 = 2n n n! n!归一化系数一化系数则谐振子振子 波函数波函数为：：(I)(I)作变量代换，因为作变量代换，因为ξ=αxξ=αx，， 所以所以dξ=α dξ=α dxdx；； (II)(II)应用应用H Hn n(ξ(ξ) )的封闭形式的封闭形式（（6 6）讨论）讨论3. 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的值得注意的是，基态能量级是非简并的值得注意的是，基态能量 E E0 0={1/2}={1/2}ħω ≠0ω ≠0，，称为零点能这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相称为零点能这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应波是没有意义的，零点能是量子效应1. 1. 上式表明，上式表明，H Hn n(ξ(ξ) )的最高次项是的最高次项是(2ξ)(2ξ)n n。

所以：所以： 当当 n=n=偶，则厄密多项式只含偶，则厄密多项式只含ξξ的偶次项；的偶次项； 当当 n=n=奇，则厄密多项式只含奇，则厄密多项式只含ξξ的奇次项的奇次项2. ψ2. ψn n具有具有n n宇称宇称上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξexp[-ξ2 2/2]/2]是是ξξ的偶函数，的偶函数，所以所以ψψn n的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 H Hn n(ξ(ξ) ) 决定为决定为 n n 宇称n = 0n = 1n = 24. 4. 波函数波函数然而，量子情况与此不同然而，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是：对于基态，其几率密度是： ωω0 0(ξ) = |ψ(ξ) = |ψ0 0(ξ)|(ξ)|2 2 = N= N0 02 2 exp[-ξ exp[-ξ2 2] ] 分析上式可知：一方面表明在分析上式可知：一方面表明在ξ= 0ξ= 0处找到粒子的几率最大；处找到粒子的几率最大； 另一方面，在另一方面，在|ξ|≧1|ξ|≧1处，即在处，即在阱外找到粒子的几率不为零，阱外找到粒子的几率不为零， 与经典情况完全不同。

与经典情况完全不同以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1 |α x|< 1 范围中运动这是因为振子在这一点范围中运动这是因为振子在这一点(|αx| = 1)(|αx| = 1)处，其势能处，其势能V(x)=(1/ 2)μωV(x)=(1/ 2)μω2 2 x x2 2 = {1/2}= {1/2} ħω= Eω= E0 0，，即势能等于总能量，动能即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内为零，粒子被限制在阱内 -3 -2 -1 0 1 2 3E0E1E2分析波函数可知量子力学的谐振子波函数分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψψn n有有 n n 个节点，在节点处个节点，在节点处找到粒子的几率为零而经典力学的谐振子在找到粒子的几率为零而经典力学的谐振子在 [-a, a] [-a, a] 区间每一点区间每一点上都能找到粒子，没有节点上都能找到粒子，没有节点1 0 1ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11 -22-44| 10|2  5. 5. 几率分布几率分布厄密多项式的另外一种写法：厄密多项式的另外一种写法：（三）实例（三）实例解：解： （（1 1）三维谐振子）三维谐振子 Hamilton Hamilton 量量例例1. 1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况（（2 2）本征方程及其能量本征值）本征方程及其能量本征值解得能量本征值为：解得能量本征值为： 则波函数三方向的分量则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：分别满足如下三个方程：如果系统如果系统 Hamilton Hamilton 量可以写成量可以写成 则必有：则必有：设能量本征方程的解为：设能量本征方程的解为：（（3 3）简并度）简并度 当当 N N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一确定后，能量本征值确定，但是对应同一N N值的值的 n n1 1, n, n2 2, n, n3 3 有多种不同组有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。

其简并度可决定如下：合，相应于若干不同量子状态，这就是简并其简并度可决定如下：当当n n1 1 , n, n2 2 确定后，确定后， n n3 3 = N - n = N - n1 1 - n- n2 2，，也就确定了，不增加不同组也就确定了，不增加不同组合的数目故对给定合的数目故对给定N N，，{n{n1 1 , n, n2 2, n, n3 3 } }可能组合数即简并度为：可能组合数即简并度为：解：解：SchrodingerSchrodinger方程：方程：求能量本征值和本征函数求能量本征值和本征函数例例2. 2. 电荷为电荷为 q q 的谐振子，受到沿的谐振子，受到沿 x x 向外电场向外电场   的作用，其势场为：的作用，其势场为：（（1 1）解题思路）解题思路势势V(x)V(x)是在谐振子势上叠加上是在谐振子势上叠加上-q-q   x x项，该项是项，该项是x x 的一次项，而振的一次项，而振子势是二次项如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方子势是二次项如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。

（（2 2）改写）改写 V(x)V(x)（（3 3））HamiltonHamilton量量进行坐标变换：进行坐标变换： 则则 Hamilton Hamilton 量变为：量变为：（（4 4））SchrodingerSchrodinger方程方程该式是一新坐标下一维该式是一新坐标下一维 线性谐振子线性谐振子SchrodingerSchrodinger 方程，于是可以利用已方程，于是可以利用已 有结果得：有结果得：新坐标下新坐标下 SchrodingerSchrodinger 方程改写为：方程改写为：本本 征征 能能 量量本本 征征 函函 数数§3 3 一维势散射问题一维势散射问题 ( (一）引言一）引言 （二）方程求解（二）方程求解 （三）讨论（三）讨论 （四）应用实例（四）应用实例( (一）引言一）引言势垒穿透是粒子入射被势垒散射的势垒穿透是粒子入射被势垒散射的 一维运动问题典型势垒是方势垒，一维运动问题典型势垒是方势垒， 其定义如下：其定义如下：现在的问题是已知粒子以现在的问题是已知粒子以 能量能量 E E 沿沿 x x 正向入射正向入射。

0 aV(x) V0I II IIIE（二）方程求解（二）方程求解（（1 1））E > VE > V0 0 情况情况因因为 E > 0, E > V0, 所以所以 k1 > 0, k2 > 0. 上面的方程可改写上面的方程可改写为：：上述三个区域的上述三个区域的 SchrodingerSchrodinger 方程可写为：方程可写为：定态波函数定态波函数ψψ1 1,ψ,ψ2 2,ψ,ψ3 3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子 exp[-exp[-iEtiEt/ / ] ] 即可看出：即可看出： 式中第一项是沿式中第一项是沿x x正向传播的平面波，第二项是沿正向传播的平面波，第二项是沿x x负向传播的平面波负向传播的平面波由于在由于在 x > a x > a 的的III III 区没有反射波，所以区没有反射波，所以 C'=0C'=0，，于是解为：于是解为：利用波函数标准条件来定系数利用波函数标准条件来定系数 首先，首先， 解单值、有限条件满足解单值、有限条件满足波函数意义波函数意义1. 波函数波函数连续综合合 整理整理 记之之2. 波函数波函数导数数连续3. 3. 求解线性方程组求解线性方程组4. 4. 透射系数和反射系数透射系数和反射系数求解方程组得求解方程组得: :为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被 势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。

势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数I I 透射系数：透射系数： 透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比称为透射系数 D = JD = JD D/J/JI III II 反射系数：反射系数： 反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数 R = JR = JR R/J/JI I其物理意义是：描述贯穿到其物理意义是：描述贯穿到 x > a x > a 的的 IIIIII区中的粒子在单位时间内流过垂区中的粒子在单位时间内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射粒子（在方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x < 0 x < 0 的的 I I 区）在区）在单位时间内流过垂直于单位时间内流过垂直于x x方向单位面积的数目之比方向单位面积的数目之比下面求下面求 D D 和和 R R几率流密度矢量：几率流密度矢量：对一维定态问题，对一维定态问题，J J 与与 时间无关，所以入射波时间无关，所以入射波 Ψ = Aexp[ikΨ = Aexp[ik1 1x] x] ψ* = A* exp[-ikψ* = A* exp[-ik1 1x]x]对透射波对透射波ψ= Cexp[ikψ= Cexp[ik1 1x]x]，， 所以透射波几率流密度：所以透射波几率流密度：反射波反射波ψ= Aψ= A’’exp[-ikexp[-ik1 1x]x]，， 所以反射波几率流密度：所以反射波几率流密度：其中负号表示与入其中负号表示与入 射波方向相反。

射波方向相反则入射波几率流密度则入射波几率流密度于是透射系数为于是透射系数为:由以上二式显然有由以上二式显然有 D+R=1D+R=1，，说明入射粒子一部分贯穿势说明入射粒子一部分贯穿势 垒到垒到 x > a x > a 的的IIIIII区，另一部分则被势垒反射回来区，另一部分则被势垒反射回来同理得反射系数：同理得反射系数：（（2 2））E < VE < V0 0情况情况故可令：故可令： k k2 2=ik=ik3 3，， 其中其中k k3 3=[2μ(V=[2μ(V0 0-E)/ -E)/  ] ]1/21/2 这样把前面公式中的这样把前面公式中的 k k2 2 换成换成 ikik3 3 并注意到：并注意到： sin iksin ik3 3a = i a = i sinhsinh k k3 3a a即使即使 E < VE < V0 0，，在一般情况下，透射系数在一般情况下，透射系数 D D 并不等于零并不等于零0 aV(x)xV0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波因因 k k2 2=[2μ(E-V=[2μ(E-V0 0)/ )/  ] ]1/21/2，，当当 E E < V< V0 0 时，时，k k2 2 是虚数，是虚数，隧道效应隧道效应 （（tunnel effecttunnel effect）） 粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象. .它是它是粒子具有波动性的生动表现。

当然，这种现象粒子具有波动性的生动表现当然，这种现象只在一定条件下才比较显著下图给出了势垒只在一定条件下才比较显著下图给出了势垒穿透的波动图象穿透的波动图象（三）讨论（三）讨论（（1 1）当）当k k3 3a >> 1a >> 1时时故故4可略可略透射系数透射系数则变为：则变为：粗略估计，认为粗略估计，认为 k k1 1 ≈ k ≈ k3 3 （相当于（相当于E ≈VE ≈V0 0/2/2））, , 则则 D D0 0 = 4 = 4是一常数下面是一常数下面通过实例来说明透射系数的量级大小通过实例来说明透射系数的量级大小于是：于是：例例1: 1: 入射粒子为电子入射粒子为电子设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2× 10-8 cm = 2Å，， 算得算得 D ≈ 0.51若若a=5× 10-8cm = 5 Å，， 则 D ≈ 0.024，，可可见 透射系数迅速减小透射系数迅速减小 质子与子与电子子质量比量比 μp/μe ≈ 1840 对于于a = 2 Å 则 D ≈ 2 × 10-38 可可见透射系数明透射系数明显的依的依赖于于 粒子的粒子的质量和量和势垒的的宽度。

度量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow 首先用首先用势垒穿透成功的穿透成功的说明明 了放射性元素的了放射性元素的α衰衰变现象例例2: 2: 入射粒子换成质子入射粒子换成质子（（2 2）任意形状的势垒）任意形状的势垒则则 x x1 1 → x → x2 2贯穿势垒贯穿势垒V(x)V(x)的的 透射系数等于贯穿这些小透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即方势垒透射系数之积，即此式的推此式的推导是不太是不太严格的，但格的，但该式与式与严格推格推导的的结果一致0 a bV(x)E对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理似用方势垒处理dx（四）应用实例（四）应用实例（（1 1）原子钟）原子钟 （（2 2）场致发射（冷发射））场致发射（冷发射）（（3）扫描隧道显微镜）扫描隧道显微镜除了大家熟悉的除了大家熟悉的α衰变、隧道二极管是衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。

（（1 1）原子钟）原子钟原子钟的频率标准就是利用氨分子原子钟的频率标准就是利用氨分子( N ( N H H3 3 ) ) 基态势垒贯穿的振荡频率基态势垒贯穿的振荡频率氨分子氨分子(NH(NH3 3) )是一个棱锥体，是一个棱锥体，N N 原子在其顶点上，原子在其顶点上，三个三个 H H 原子原子 在基底如图所示：在基底如图所示：NN’HHHNN’E如果如果N N原子初始在原子初始在N N处，则由于隧处，则由于隧 道效应，可以穿过势垒而出现在道效应，可以穿过势垒而出现在 N N’点当运动能量小于势垒高点当运动能量小于势垒高度度 1. R-S1. R-S之间或之间或T-UT-U之间的振荡（谐振子）；之间的振荡（谐振子）； 如图中能级如图中能级 E E 所示，则所示，则N N原子的原子的运动由两种形式组成运动由两种形式组成2. 2. 这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动对于这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动对于NHNH3 3基态，第二种振荡基态，第二种振荡频率为频率为2.37862.3786× 10 1010 10 HzHz这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。

垒贯穿运动（（2 2）场致发射（冷发射））场致发射（冷发射）图 （（a））图 （（b））欲使金属发射电子，可以将金欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应发射和光电效应但是，施加一个外电场，金属中电子但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图的所感受到的电势如图(b)(b)所示金属所示金属中电子面对一个势垒，能量最大的电中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射从而导致所谓场致电子发射（（3））扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)(STM)原理：原理：利用电子的隧道效应利用电子的隧道效应 金属样品外表面有一层金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离及电流对针尖与表面的距离及其敏感，如果控制隧道电流其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖的在垂直于保持恒定，针尖的在垂直于样品方向的变化，就反映出样品方向的变化，就反映出样品表面情况。

样品表面情况Scanning Tunneling Microscope)隧道隧道电流电流反馈传反馈传感器感器参考信号参考信号显示器显示器压电压电控制控制加电压加电压扫描隧道显微镜示意图扫描隧道显微镜示意图4848个个F Fe e原子形成原子形成“量子围栏量子围栏”，，围栏中的电子形成驻波围栏中的电子形成驻波 STMSTM的横向分辨率已达的横向分辨率已达 ，纵向分辨达，纵向分辨达 , ,STMSTM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜观察固体表面原子情况的超高倍显微镜观察固体表面原子情况的超高倍显微镜05090307010(nm)硅晶体表面的硅晶体表面的STM扫描图象扫描图象神经细胞的神经细胞的STM扫描图象扫描图象搬运单个原子搬运单个原子19271927年第五届索尔威会议年第五届索尔威会议爱爱因因斯斯坦坦洛洛仑仑兹兹居居里里夫夫人人普普朗朗克克德德拜拜泡泡利利康康普普顿顿薛薛定定谔谔狄狄拉拉克克埃埃伦伦费费斯斯特特布布喇喇格格玻玻尔尔海海森森伯伯玻玻恩恩朗朗之之万万德德布布罗罗意意一维薛定谔方程及势垒贯穿在实际科研中的应用介观体系准二维体系异质结量子阱单层石墨准一 维体系：：量子线准零维体系：：量子点两维的电子气夹在两层原子之间electrons半导体异质结能带图介观低温物理中许多著名的实验工作大多是在二维电子气系统中完成的: 1:整数量子霍尔效应[Phys.Rev.Lett.45 : 194], 1985年诺贝尔物理学奖.2:分数量子霍尔效应[Phys.Rev.Lett.48 : 1559], 1998年诺贝尔物理学奖.3: 量子化电导[Phys.Rev.Lett. 60: 848].SAW generator f 3 GHzcurrent = e·f gate voltageAlternative: SET by Surface Acoustic Waves J. M. Shilton et al. J. Phys. C 8, L531, (1996)叉指换能器的原子力显微镜图 研究背景研究背景:1996 年，英国卡文迪什实验室Shilton等人发现量子化声电电流J. Phys.: Condens. Matter 8（（1996）） L531Physics:non-equilibrium effectoverheated electrons,thermal escape ?tunnelling escape ?T operation:too high (> 300 mK) (required rf power)precision  10-4...10-5Devices:yield, stabilityProblems, open questionspowerT = 300 mKgate voltagecurrent (nA)-30 dBmCoulomb blockade oscillations (CBO): impurity inducedquantum dotopen channelregime0 dBmvery flat plateau atlowest SAW powerever reportedComprehensive measurementof I = I(P,Ug)barrier regimecurrent plateausv?ECoulombJ. Shilton et al.,J. Phys.: Cond. Mat. 8(1996) L531-L539 电子在移动量子阱中电子在移动量子阱中鞍点势量子化声电电流的计算一维体系中，系统的哈密顿量写为经离散后，哈密顿量Internat. Rev. Phys. Chem. 1992,1111: 317当分裂门加上负电压后，在钳断区，一维通道方向产生的静电势垒可以取为 V V0 0为静电势垒的高度。

为静电势垒的高度压电运动势与分裂门产生的静电势垒的迭加我们引入无量纲参数参数定义为声表面波的有效振幅与静电势垒高度的比值 不同时刻下势场叠加图形， 量子阱仅仅俘获一个电子时，其一维薛定谔方程可写为 不同 值时系统的基态能随时间的变化，V0＝1.0 meV 考虑声表面波在一个周期内（0≤ ≤2π）和固定 的情况下，背隧穿的几率 ＝0.3时，V0 = 1.0, 1.4, 和1.8 meV的情况下电子回源端的几率随时间的变化量子化声电电流随 和V0 的变化关系第一个声电电流坪台的精度随声表面波振幅和静电势垒高度的变化 。