重要不等式的几何解释.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,基本不等式的几何解释,,2002,年在北京举行的第,24,届国际数学家大会会标,,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,,a,b,,问,2,：,Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE,是全等三角形，它们的面积是,S’=,———,问,1,：,在正方形,ABCD,中,,,设,AF=,a,BF,=b,,则正方形的面积为,S=,————,，,问,3,：,S,与,S’,有什么样的关系？,,从图形中易得，,,s > s’,,即,探究1(赵爽弦图),,探究2,,问题,1,：,那么它们有相等的情况吗？何时相等？,,图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即,a=b,时，正方形,EFGH,缩为一个点，这时有,,,a=b,形的角度,数的角度,,当,a=b,时,,a,2,+b,2,－,2ab=(a,－,b),2,=0,,结论：,一般地，对于任意实数,a,、,b,，我们有,,,,,当且仅当,a=b,时，等号成立,此不等式称为,重要不等式,探究2,问题,2,：,当,a,b,为任意实数时，上式还成立吗？,,,类 比 联 想 推 理 论 证,,（特别的）如果,,,,,也可写成,,,,,,,,,,a,＞,0 ,b,＞,0 ,,,当且仅当,a=b,时“＝”号成立,,此不等式称为,基本不等式,探究3,,,概念,a,b,的算术平均,a,b,的几何平均,(1),两个正数的,算术平均数,不小于,它们的,几何平均数,.,(2),两个正数的,等差中项,不小于,它们的,等比中项,.,,a,b,o,A,B,P,Q,对基本不等式的,几何意义,作进一步探究,:,如图,,AB,是圆,o,的直径，,Q,是,AB,上任一点，,AQ=,a,,BQ,=,b,,,过点,Q,作垂直于,AB,的弦,PQ,，连,AP,BP,,,,则,PQ=,____,,,半径,AO=,_____,问题：,请比较半弦长,PQ,与半径,AO,的关系？,几何意义：,圆的半径不小于圆内半弦长,探究4,,例,1,：,（,1,）用篱笆围成一个面积为,100m,的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？,,解：设矩形菜园的长为,x m,，,宽为,y m,，,,则,xy,=100,，,篱笆的长为,2,（,x+y,）,m.,,等号当且仅当,x=y,时成立，此时,x=y=10,.,,因此，这个矩形的长、宽都为,10m,时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是,40m.,结论,1,：,两个正变量,积为定值,，则,和有最小值,，当且仅当两值相等时取最值2,）用一段长为,36m,的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,,解：设矩形菜园的长为,x m,，,宽为,y m,，,则,2,（,x + y,）,= 36 , x + y = 18,矩形菜园的面积为,xym,2,=18/2=9,得,xy,81,当且仅当,x=y,,即,x=y=9,时，等号成立,,因此，这个矩形的长、宽都为,9m,时，菜园面积最大，最大面积是,81m,2,结论,2,：,两个正变量,和为定值,，则,积有最大值,，当且仅当两值相等时取最值应用基本不等式求最值的条件：,,,,,a,与,b,为正实数,,若等号成立，,a,与,b,必须能够相等,一正,二定,三相等,,积定和最小,,和定积最大,,例,2:,某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,,,其容积为,4800m,3,,,深为,3m.,如果池底每平方米的造价为,150,元,,,池壁每平方米的造价为,120,元,,,怎样设计水池能使总造价最低,?,最低总造价是多少,?,分析,:,水池呈长方体形,,,它的高是,3m,,底面的长与宽没有确定,.,如果底面的长与宽确定了,,,水池的总造价也就确定了,.,因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低,,解,:,设底面的长为,xm,,,宽为,ym,,,水池总造价为,z,元,.,,根据题意,,,有,:,,,,由容积为,4800m,3,,,可得,:3xy=4800,,因此,xy,=1600,,由基本不等式与不等式的性质,,,可得,,,,即,,,,当,x=y,,即,x=y=40,时,,,等号成立,,所以,,,将水池的地面设计成边长为,40m,的正方形时总造价最低,,,最低总造价为,297600,元,.,,练一练,1.,下列函数中最小值为,4,的是,( ),,(,A)y,=x+4∕x (,B)y,=sinx+4∕sinx(01,，且,m=log,a,(a,2,+1),n=log,a,(a+1),,,p=log,a,(2a),则,m,n,p,的大小关系是,( ),3.,若,a.b∈R,,,且,a+b,=3,,则,2,a,+2,b,的最小值为,( ),C,m>n>p,,4.,设计一副宣传画，要求画面面积为,4840m,2,，画面的宽与高的比为,a(,a<1),，画面的上下各留出,8cm,的空白，左右各留,5cm,的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？,练一练,,5.,某种生产设备购买时费用为,10,万元，每年的设备管理费共计,9,千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年,2,千元，第二年,4,千元，第三年,6,千元，依每年,2,千元的增量递增。

问这种生产设备最多使用多少年报废最合算,(,即使用多少年的平均费用最少？,),练一练,,,1.,两个不等式,,（,1,）,,,,,（,2,） 当且仅当,a=b,时，等号成立,,,注意：,1.,两公式条件，前者要求,a,b,为实数；后者要求,a,b,为正数2.,公式的正向、逆向使用的条件以及,“,=,”,的成立条件2.,不等式的简单应用：主要在于,求最值,,把握,“七字方针”,即,“一正，二定，三相等”,课堂小结,,高考欣赏,1.,设,>0,，,>0,，若 是 与 的等比中项，则,的最小值为（ ）,,A. 8 B. 4 C. 1 D.,（,2009,年天津理,6,）,B,,＞,,2.,（,2009,山东理,12T),设 满足约束条件 若目标函数,（,0,，,>0,）,的最大值为,12,，则 的最小值为（ ）,A. B. C. D. 4,略解,：,x,,y,,0,,2,-2,2,,(4,6),,A,,。