高中数学解题基本方法(已整理)(共26页).doc
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精选优质文档-----倾情为你奉上高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方有时也将其称为“凑配法”最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{a}中，asa+2asa+aa=25，则 a＋a＝_______2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____ A.
选C4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解5小题：答案3－Ⅱ、示范性题组：例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____ A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：长方体所求对角线长为：＝＝＝5所以选B注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解这也是我们使用配方法的一种解题模式例2. 设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。
注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋() 分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 则代入所求式即得解】由a＋ab＋b=0变形得：()＋()＋1＝0 ，设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab ，所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2 注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0 ，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算。
此方法用于只是未联想到ω时进行解题假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____A. 8 B. C. D.最小值不存在2.α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是_____A. － B. 8 C. 18 D.不存在3.已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值4.椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或65.化简：2＋的结果是_____A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6.设F和F为双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF＝90，则△FPF的面积是________。
7.若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为___________8.已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值92年高考题)9.设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,]Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinxcosx＋sinx+cosx的最大值是_________2.设f(x＋1)＝log(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________3.已知数列{a}中，a＝－1，aa＝a－a，则数列通项a＝___________4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________5.方程＝3的解是_______________6.不等式log(2－1) log(2－2)〈2的解集是_______________简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；2小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log4]；3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2 Ⅱ、示范性题组：例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5（①式），设S＝x＋y，求＋的值93年全国高中数学联赛题）分析：由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值解】设代入①式得： 4S－5Ssinαcosα＝5 解得 S＝ ；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤∴ ＋＝＋＝＝此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]， 则xy＝代入①式得。
