历年考研数学一真题及答案(1987年-2014年).pdf

历年考研数学一真题1 9 8 7-2 0 1 41 9 8 7年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)当时,函数2取得极小值.由曲线y =l n x与两直线v =e +-x及y =O所围成的平面图形的面积是.I =X与两直线 y =7+rI z=2+t及 业=山=也 都 平 行 且 过 原 点 的 平 面 方 程 为1 1 1a,=(l,l,0),a2=(1,0,D q=(0,1,1),则向量p =(2,0,0)在此基底下的坐标是.二、(本题满分8分)求正的常数a与反使等式l imd t =1成立.b x-sinx/三、(本题满分7分)(D设 八.为 连 续 可 微 函 数=/(x,x y),v =g(x+xy),求d u d vd x,d x(2)设 矩 阵A和B满 足 关 系 式A B =A+2 B.其中-3 o rA=1 1 0，求矩阵B.0 1 4 设L为 取 正 向 的 圆 周Y +y 2=9,则 曲 线 积 分(2 x y -2y)d x+(x2-4x)d y =.(5)已 知 三 维 向 量 空 间 的 基 底 为四、(本题满分8分)求微分方程)，“+6/+(9 +1)上1的通解,其中常数。

0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每(A)发散(B)绝对收敛小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)设l im )一/=7,则在 处(x-a)(A)f(X)的导数存在,且(B)/(X)取得极大值(C)f(x)取得极小值(D)f(x)的导数不存在设小)为已知连续函数,/=4力(以)此其中,0,s 0,则/的值(A)依赖于s和，(B)依赖于s、r和x(C)依赖于,、x,不依赖于s (D)依 赖于s,不依赖于设常数人 0,则级数(-1)“当/=!其中 是由曲线f(x)=z=历1，3绕，轴旋转一周而成(C)条件收敛(D)散 敛性与人的取值有关 设A为阶方阵，且A的行列式5 1=0,而A是A的伴随矩阵，则IA*I等于(A)a(B)1a(0(D)/六、(本题满分i o分)求 塞 级 数 匚 上 的 收 敛 域，并求其和函数.2 n 2 七、(本题满分1 0分)求曲面积分I =Jjx(8y+l)dydz+2(1 -y2)dzdx-4yzdxdy,z,其法向量与 轴正向的夹角恒大于土2八、(本题满分10分)设函数f(x)在闭区间1 0#上可微,对于0 1 上的每一个X,函数/(X)的值都在开区间(0,1)内，且广(x)#1,证明在(0/)内有且仅有一个X,使得/(X)=X.九、(本题满分8分)问a,b为何值时,现线性方程组/-X +工2+工3+14=0 x2+2X3+2X4=1 0 9 求 9(x)及其定义域.(3)设为曲面/+/+“2=1的外侧，计算曲面积分/=J J x3d y d z+y d zd x+z d xd y.x二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分1 2分.把答案填在题中横线上)若 f)=l i m r(l +L严 贝！r(r)=K M X(2)设/(x)连续且 )力=.则/(7)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(3)设周期为2的周期函数，它在区间(T I上卑义为/(%)=2 T K ,贝I J的傅里叶(S i e r)级数在x =、处收*0%0/(/)=0,则函数八x)在点卡处(A)取得极大值(B)取得极小值(D)某(C)某邻域内单调增加邻域内单调减少(3)设 空 间 区 域2 :1 +廿 +V R2,z N 0,2：/+y2+/R2,X 2 0,y N o,z N 0,则(A)肝 小=4川小A%(B)川ydv=4川y询 JJJzdv=4“Jzdv(D)JJJxyzdu=4 JJJxyzduA 电设寨级数%(一)”在 处 收 敛，则此级数在X =2处(A)条件收敛收敛(C)发散(B)绝 对(D)收 敛性不能确定(5)维向量组四r,a，(3 s K)线性无关的充要条件是(A)存 在 一 组 不 全 为 零 的 数k,Q 及,使ki%+女2%+%见#0(B)%,，,a,中任意两个向量均线性无关(0 a”,中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)四,%,此 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设，=):/(与+x g g),其中函数八g具有二阶连续导数,+d2u d2u求 宝+瑜.五、(本题满分8分)设函数 y=y(x)满足微分方程 y,-3)，+2 y =2 e，,其图形在点(0.1)处的切线与曲线y =f 7-1在该点处的切线重合,求函数y =y(x).六、(本题满分9分)设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为与(k 0为常数.为人质点与M之间的距离)，质点M沿直厂线 y =l2x-x2 自 8(2,0)运动到0(0,0),求在此运动过程中质点4对质点,”的引力所作的功.七、(本题满分6分)-1 0 0-1 0 0-已知AP =BP,其中B =0 0 0,P=2-1 0，求 A,A，_0 0-12 1 1八、(本题满分8分)2 0 0-2 0 0 已知矩阵人=0 0 1与8=0 y 0相似.0 1 x0 0-1九、(本题满分9分)设函数/在区间上连续,且在(a,b)内有,(x)0,证明:在(“*)内存在唯一的:使曲线y =/(X)与两直线 y =a 所围平面图形面积 是曲线 y=/(x)与两直线y =/)=b所围平面图形面积$的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知4至少出现一次的概率等于义,则事件A在一次试验中出现的概率是.(2)若在区间1)内任取两个数,则事件”两数之和小于g”的概率为.5(3)设随机变量x服从均值为1 0,均方差为0.02的正求.与V.求一个满足PIP=B的可逆阵P.态分布，已知O（X）=i 4布 一0(2.5)=0.993 8,则x落在区间（9.95,1 0.0 5）内的概率为.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为/x（x）=L,求随%（1 一 九）机变量丫=1-板的概率密度函数小外1 98 9年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5 小题,每小题3 分,满分1 5 分.把答案填在题中横线上)(1)已知八3)=2,则.z o 2h(2)设 x)是 连 续 函 数，且/(x)=x+2。

力，则/(X)-_(3)设平面曲线z 为下半圆周y =E则曲线积分j (x2+y2)ds=，(4)向 量 场diva在 点 尸(1,1,0)处 的 散 度3 0 设 矩 阵A=1 40 0o l F i o0,1=0 13 0 000,贝I J矩 阵1(A-21)-=.二、选择题(本题共5 小题,每小题3 分,满分1 5分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)当x0时,曲线y-无s i n x(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(0 既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面.4-/一 y 2上点处的切平面平行于平面2 x +2 y +z-l =0,则点的坐标是(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(1,1 (D)(7，一1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)9 M+C 2 y 2+为(B)C 0+C 2 y 2-(C 1+C 2)%(C)+0 22-(1-一02)丫3(D)+c 2 y 2+(1-C|一2万3(4)设 函 数/(x)=x2,0 x l,而S(JV)=bn s i n n/rx,-o%0）上，问当R为何值时，球面E在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题（本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上）率 P（B）=0.6 及条件概率 P（B I A）=0.8,则和事件A U B的概率P（A U fi）=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（2）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为.（3）若随机变量J在（1,6）上服从均匀分布，则方程/+J x +1 =0有实根的概率是.十一、（本题满分6分）设随机变量x与y独立,且x服从均值为1、标准差（均方差）为V 2的正态分布,而y服从标准正态分布.试求随机变量z =2 X 一 y +3的概率密度函数.（1）已知随机事件4的概率P（4）=0.5,随机事件B的概1 990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分1 5分.把答案填在题中横线上)x=-t+2(1)过点M(1,2-1)且 与 直 线y=3 4垂直的平面方程是.Iz=r-1 设a为非零常数,则.(山尸.i s x-a 设 函 数/1 尸 ，则0|x|1/(%)=-(4)积分fjx fe-2 d y的值等于.(5)已 知 向 量 组i=(1,2,3,4),a?=(2,3,4,5),a?=(3,4,5,6),(2-x)2 设z=g一 y,ysi n x),其中/(u,v)具有连续的二阶偏导数，求(3)求微分方程y +4 4 +4 y=e。

的通解(一般解).四、(本题满分6分)求募级数(2 +1)X的收敛域,并求其和函数.”=0五、(本题满分8分)求曲面积分/=J|yzdzdx+2dxdys其中S是球面/+y2+z2=4外侧在z 0的部分.六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数外口在闭区间kb 上连续,在开三、(本题共3小题,每小题5分,满分1 5分)区间(a,b)内可导,且/(a)=/(/?).证明在(a,力)内至少存在1点 使 得/)().七、(本 题 满 分6分)设四阶矩阵1 -1 00 1 -1B=0 0 10 0 00 21 j L1 3 42 1 30 2 10 0 2且矩阵A满足关系式质 点 沿 着 以A B为直径的半圆周,从点4(1,2)运动到点 8(3,4)的过程中受变力户作用(见图).户的大小等于点P与原点之间的距离,其方向垂直于线段尸且与)，轴正向的夹角小于巴求变力户对2质 点P所作的功.A(E-CTB)C=E其 中E为四阶单位矩阵,C T表 示C的逆矩阵C表 示c的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、(本 题 满 分8分)求一个正交变换化二次型f-X；+4 x；+4 x；-4 X I X2+4为 工3 -成标准型.九、(本 题 满 分8分)十、填 空 题(本 题 共3小 题,每 小 题2分，满 分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量x的概率密度函数jC/、1 -I d(%)=-e 1 1-8 x +8则X的概 率分布函数/(x)=.(2)设 随 机 事 件 八B及其 和事 件的 概率 分 别是0.4、0.3和0.6,若万表示B的对立事件，那 么 积 事 件A了的概率 P(AB)=.(3)已知离散型随机变量x服从参数为2的泊松(Po isso n)分布，即 P X=口=与 匚&=0,1,2,.,则随机变量k!Z=3 X.2的数学期望E(Z)=-十一、(本题满分6分)设二维随机变量(x,y)在区域。

0 x 0)中，求一条曲线L使沿该曲线从到A的积分1 (1 +y，)d x +(2x+y)d y 的值最小.阶单位阵,则必有(A)ACB=E(B)CBA=E五、(本题满分8 分)(C)BAC=E BCA=E将函数/(x)=2+W(TW D展开成以2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 二的和.=|一三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)求 l i m(c o sV x)2.X TO+设力是曲面2/+3产+22=6在点尸(1,1,1)处的指向外六、(本题满分7分)设 函 数/(x)在 0,1 上 连 续,(0,1)内 可 导，且3。