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第二章 插值与逼近 2.9 数据拟合(最小二乘法)华长生制作1 2.9 数据拟合(最小二乘法)实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:华长生制作2纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近-(1)华长生制作3在回归分析中称为残差平方和从而确定(1)中的待定系数注意(1)式是一条直线因此将问题一般化华长生制作5仍然定义平方误差华长生制作6我们选取的度量标准是-(2)-(3)华长生制作7华长生制作8二、法方程组由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数华长生制作9由多元函数取极值的必要条件得即华长生制作10-(4)即华长生制作11引入记号则由内积的概念可知-(5)-(6)显然内积满足交换律华长生制作12方程组(4)便可化为-(7)将其表示成矩阵形式-(8)华长生制作13并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解华长生制作14即是的最小值所以因此华长生制作15作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差华长生制作16例1. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得华长生制作17法方程组为解得平方误差为华长生制作18拟合曲线与散点的关系如右图:华长生制作19例2.求拟合下列数据的最小二乘解x=.24 .65 .95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99y=.23 -.26 -1.10 -.45 .27 .10 -.29 .24.56 1解:从数据的散点图可以看出因此假设拟合函数与基函数分别为华长生制作206.7941 -5.3475 63.2589-5.3475 5.1084 -49.008663.2589 -49.0086 1002.5 1.6163-2.382726.7728通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为Go!Go!华长生制作21用Gauss列主元消去法,得 -1.0410 -1.2613 0.030735拟合的平方误差为图象如图华长生制作22例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式华长生制作23两边取对数,得得即为拟合函数基函数为解法方程组得平方误差为华长生制作24用最小二乘法得即无论从图形还是从平方误差考虑在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好平方误差为华长生制作25三、加权最小二乘法各点的重要性可能是不一样的重度: 即权重或者密度，统称为权系数 定义加权平方误差为-(9)华长生制作26使得华长生制作27由多元函数取极值的必要条件得即华长生制作28引入记号定义加权内积-(10)华长生制作29矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为-(11)-(12)华长生制作30平方误差为作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为-(13)华长生制作31四、用正交多项式作最小二乘拟合*即正交多项式如何选取呢-(14)华长生制作32使得华长生制作33由可知因此华长生制作34而因此华长生制作35可知最后可得正交多项式选取的方法:-(15)由华长生制作36使得由正交多项式的性质,法方程组华长生制作37-(16)-(17)可化为即得即为利用正交多项式的最小二乘解华长生制作38平方误差为华长生制作39例4.是用最小二乘法求拟合这组数据的多项式解:从散点图可知数据和二次多项式拟合较好因此选用二次多项式作这组数据的拟合函数华长生制作40设拟合函数取华长生制作41华长生制作42因此拟合多项式为平方误差为华长生制作43五、利用正交多项式作最小二乘法的算法设计下周请交第三章作业及应用题华长生制作44。