spc统计之变异数分析(共34页).doc

授 課 目 錄 第1章 導 論第2章 統計資料的整理與描述第3章 機率導論第4章 常用的機率分配與統計分佈第5章 描樣方法與描樣分佈第6章 統計估計第7章 統計檢定第8章 變異數分析第9章 相關分析與迴歸模式第10章 無母數統計檢定第11章 類別資料分析---列聯表與卡方檢定第八章 變異數分析 一般統計檢定係討論兩個常態母體下檢定『平均值』的方法倘對k個常態母體，欲檢定其『平均值』是否一致時，採逐一比對程序檢定則效率差且會增型 I 誤差的機率 變異數分析ANOVA(Analysis of Variance)的主要觀念即利用各組資料平均值的差異與各組資料整體之間差異做比較，來檢定平均值是否相同的方法ANOVA可對k個母體檢定其『平均值』是否一致『ANOVA即將一組資料的總變異，依其變異來源分割成數區』，然後針對其『各區內變異與各區間變異』加以探討分析 ANOVA依據因子的數目---One-way ANOVA，Two-way ANOVA8.1 實驗設計與ANOVA◎ 十九世紀初，英國為了改良農作物的品質與產量，由Ronald A. Fisher爵士首先提出應用ANOVA於實驗設計(DOE, Design of Experiment)中。

實驗的目的是將不同的處理(Treatment)，指定給不同的實驗單位(Unit)，以便觀察其結果好壞過程輸入x輸出y可控因子x不可控因子z◎ 實驗的目的是將不同的處理，指予不同的實驗單位，以便觀察其結果好壞其包括下列幾點：1、決定何者變數x對反應y最具影響力2、決定這些最具影響力變數x的值，使反應y幾乎永遠都是在所想要的目標值(Nominal Value) 的附近3、決定這些最具影響力變數x的值使反應y變異較小4、決定這些最具影響力變數x的值使得不可控變數z的影響極小◎ 以一般實驗設計方法分為二大類：完全隨機設計(Completely Randomized Design)與集區隨機設計(Randomized Block Design)，以增處理效果的可信度1、 完全隨機設計係在考慮一個因子的情況下，有n1 , n2 , …,nk個實驗單位分別指定到k個處理上這些實驗單位的實驗順序是隨機決定的完全隨機設計因為只考慮一個因子，故亦稱一因變異數分析(One-way ANOVA)可中和其他因子對實驗的影響2、 集區隨機設計係事先將實驗對象劃分成若干同質性的集區，即在每個集區內涵具同質性環境下，進行不同實驗處理。

◎實驗設計亦可以一函數表示之：y = f(x1 , x2 , …,xk) (8.1)式中：輸入x---可控因子(變數)(Control Factors (Variables)，輸出y---依變量(Dependent Variable)，過程輸入x輸出y可控因子x不可控因子z8.2 一因子變異數分析(The One-way ANOVA) 倘工管系欲採三種工廠實習課程：(1)電視教學 (2)講師講習 (3)實地觀摩，研究其對學生學習效果是否有不同的影響此3種實習課程稱之『處理(Treatment)』於是將實習生隨機分成3組，分別施以不同實習課程茲隨機抽樣21位實習生進行分組，第1組有7位，第2組有8位，第3組有6位此n1 = 7 , n2 = 8 , n3 = 6稱之『實驗單位(Unit)』本研究僅以『工廠實習課程』此一因子(Factor)來對母體作分類探討，故此稱之一因子變異數分析典型資料如下：處理(水準)Treatment(Level)觀測值(Observations)總和(Totals)平均值(Average)1 y11 y12 …y1ny12y21 y22 …y2ny2…….…aya1 ya2 …y1nyayN = anyij : 第i個處理、第j個觀測值一因子變異數分析是根據變異來源：組內、組間、與總變異等統計量，建立變異數分析表(ANOVA Table)，以進行檢定工作。

變異來源平方和SS自由度df均方和MSF因子(組間)SSTa-1MST=SST/(a-1)MST/MSE隨機(組內)SSEN-aMSE=SSE/(N-a)總和SSN-1MS=SS/(N-1)其中：◎總變異(Total Sum of Squared Deviation)SS = = SST+SSE (8.2)◎組間變異(Treatment Sum of Squares) (Between Treatment) SST = (8.3)◎組內變異(Error Sum of Squares) (Within Treatment)SSE = (8.4)簡化之： SS = ； SST = SSE = SS –SST (8.5)一因子變異數分析的統計假設為 H0: m1= m2 =…. = mk ；即因子對依變數無影響H1: mi 不全等；即因子對依變數有影響 上述的假設中， m1 , m2 ,…. , mk分別為k個因子水準所造成的效果若H0為真，即表示k個效果不存在，因子對依變數無影響檢定統計式： F = MST/MSE (8.6)若各組樣本均來自常態分佈，則檢定統計量為一F分佈。

在顯著水準a下，倘 F Fa, a-1, N-a Accept H0 F > Fa, a-1, N-a Reject H0各組樣本數相等範例、隨機抽取IDF、F16、與幻象2000等三種戰機各10架，測其速度，這三種戰機的平均速度有差異?SOL：(1)建立統計假設H0: m1= m2 = m3 ； H1: mi 不全等(2) 顯著水準a = 0.05IDFF162000單因子變異數分析2.251.992.782.122.482.64摘要1.892.512.98組個數總和平均變異數1.932.082.84IDF1020.952.0950.03572.432.313.01F161022.062.2060.05931.872.272.7220001028.322.8320.01532.041.842.852.111.992.692.322.082.89ANOVA1.992.512.92變源SSdfMSFP-值組間3.15788721.57894342.9384.1E-09組內0.99285270.036772臨界值3.354131總和4.15073729F(=42.94)值遠大於臨界值(=3.35)，且P-值為4.1E-09遠小於顯著水準0.05Reject H0 \即至少有二種戰機(母體)的平均速度是有差異的。

各組樣本數不等範例、工管系欲採三種工廠實習課程：(1)電視教學 (2)講師講習 (3)實地觀摩，其對學習效果是否有不同的影響? SOL：(1)建立統計假設H0: m1= m2 = m3 ； H1: mi 不全等(2) 顯著水準a = 0.05電視教學講師講習實地觀摩單因子變異數分析707682838580摘要888075組個數總和平均變異數929089電視教學75888455858570講師講習86888634808872實地觀摩64687850909094ANOVA變源SS自由度MSFP-值組間228.95242114.47622.5190360.108502組內8181845.44444臨界值3.554561總和1046.95220F(=2.52)值小於臨界值(=3.55)，且P-值為0.1085大於顯著水準0.05Accept H0 \三種工廠實習課程對學生學習效果無差異的8.3 集區隨機設計(The Randomized Block Design)在任何實驗中，擾動因子(Nuisance Factor)引起的變異對其結果會有影響擾動因子之定義： 一設計因子，其對反應有效果而實驗者卻對此效果無興趣。

未知且無法控制(Unknown and Uncontrolled)的擾動因子：不知其存在及實驗進行時可能改變水準隨機化是一種設計技巧用來防範此『潛伏』的擾動因子然而，已知但不可控制(Known but Uncontrollable)的擾動因子，倘於每次實驗時會觀測到此的擾動因子之值，則於ANOVA時其會被補償如擾動變異來源是已知且可控制(Known and Controllable)時，集區劃分(Blocking)之設計將可系統化地消除其對處理間統計比較的影響上節敘述一因子變異數分析，且完全隨機設計，藉此中和或消弭一些非特定因子(不是我們想知道的重點)對依變量(輸出y)所造成的影響但某些情況下，非特定因子對依變量的干擾過大，甚至完全隨機設計亦無法消弭這些干擾此時依變量不只受到特定因子的影響，亦受到非特定因子的影響倘致遠管理學院欲對6個學系有開統計學課程，採4種不同教學方式，以研究統計學對各系學生學習效果是否有不同的影響此時，學生學習效果為依變量(輸出y)，教學方式為特定因子，但學生學習效果卻不只受到教學方式的影響，而受到各學系的影響，因為各學系各具不同的特性若用上節的檢定方式，會將各系所導致的影響計入SSE中，而使得SSE膨脹起來，因而影響結論的正確性。

如欲評鑑各系學生學習統計學的效果，則各系學生學習成績形成一個集區(Block)因此總變異的分解為：SS(總變異) = SST(組間變異) + SSB(集區變異)+ SSE(隨機誤差)Block 1Block 2….Block by11y12…y1by21y22…y2by31y32….y3b..….ya1ya2…yab變異來源平方和SS自由度df均方和MSF因子(組間)SSTa-1。