向量中的中点转化与极化恒等式.doc

极化恒等式【一 .式子结构分析】rr 2r 2r rr 2，同理可以有：rr 2r 2r rr2.1.aba2abbaba2abb两个式子相加可得：r2r2rr 2rr22 ababab,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和， 也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：ma12 b2c2a2 （必修五课2本 20页）.rr 2r2r rr2，同理可以有：rr 2r2r rr 2.2.aba2abbaba2abb两个式子相减可得：一题考查了 .rrrr2rrababab42,这个叫 极化恒等式 ， 2017 年全国甲卷理科选择最后r2r 2这样的式子，一般r2r2rr rr3. 很多时候我们也会遇到 abab(ab)( ab ) ，类似于平方差公式，实质上同 2 差不多【二、极化恒等式】和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本 . 回忆必修四 105 页例 2rr 2r2r rr2，同理可以有：rr 2r2r rr2.aba2abbaba2abbr2r2rr 2rr两个式子相加可得： 2 ababab2,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和， 也等于邻边的平方和的两倍， 由此可得三角形的中线长公式： ma 1 2 b2 c2 a2 （必修五课2本 20页）.两个式子相减可得：考查了 .rrrr 2rrababab42,这个叫 极化恒等式 ，2017 年全国甲卷理科选择最后一题极化恒等式的几何意义是 :向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角线 ”与“差对角线 ”平方差的1r r1(AD2BC2).，即 a b44在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即r rAM212，他揭示了三角形的中线与边长的a bBC4关系 .下面通过几道题目，来分析 极化恒等式 的妙用 .ABC 中， M 是 BC 的中点， AM3,BCuuur uuur4.在10 ，则 AB AC ________.uuuruuuruuuruuur2uuuruuur2uuuur 2uuur 2解析：ABAC( ABAC)BC16AB AC4AM4事实上， 类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式 ”，或在无意中使用 “极化恒等式 ”.ABC 中， D 是 BC 的中点， AB2, ACuuuruuur在3，则 ADBC________.uuuruuur解析：uuuruuurABACuuuruuur1uuur 2uuur 25ADBC2( ABAC )( ABAC).22MN2uuuur uuur5.在 Rt△ABC 中， CA＝ CB＝ 3， M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且，则 CM gCN 的取值范围为 _______.uuuuruuuruuuuruuur 2uuuuruuur 2解析：设 MN 的中点为 D，则1gCMCNCMCNCM CN41uuuruuuur 2uuur 2122CDMNCD4, 642uuuruuuruuur类题： △ABC 中，AC⊥ BC，AB＝ 3，AC＝1，D 为 BC 的中点， F 为线段 AD 上任意一点， 求 AF g FBFC的最大值 .uuuruuuruuuruuuruuurggg解析：AFFBFC，AF 2FD2AF FD因 AFFDAD3，故当 AFFD3uuuruuuruuur32时， AF g FBFC取最大值.26.（ 2017 年高考全国卷Ⅱ理12）uuuruuuruuurABC 是边长为已知2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA ( PBPC) 的最小值是A.2B.3C.4D.123解法分析思路一：建系，将向量运算坐标化解法 1：如图1，建立平面直角坐标系xOy ， A 0,3，B 1,0 ，C 1,0，设 P x, y，uuurx,3yuuuruuur1x,y1x,y2 x,2y ，所以则 PA， PBPCuuuruuuruuur22 y y3 2 x2y333 ，PAg PB PC 2x2222当且仅当 x0， y332，即 P 为 AO 的中点时取等号，则所求最小值为，选 B.2yAPxB O C图 1uuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur uuuur思路二：取 BC 中点 M，将 PBPC 转化为 2PM ，则 PAg PBPCPAg2PM2PAgPM ，怎uuuruuuur么求 PAgPM 的最小值呢？如图 2，设 AM 的中点为 N，则uuur uuuur1uuuruuuur 2uuuruuuu。