雅可比方法.docx

A()AA nnn(6) 设A n PLlA n P i AA PP T AP =L LêúëûA第二节雅可比方法雅可比方法是用来计算实对称矩阵 A 的全部特征值及其相应特征向量的一种变换方法.在介 绍雅可比方法之前，先介绍方法中需要用到的线性代数知识与平面上的旋转变换 .一 预备知识（1） 如果 n 阶方阵 满足AT A =I即A-1=A则称(2)为正交阵.设 是 阶实对称矩阵，则A的特征值都是实数，并且有互相正交的 个特征向量.(3) 相似矩阵具有相同的特征值.(4) 设 A 是 n 阶实对称矩阵， P 为 n 阶正交阵，则 B =P T AP (5) 阶正交矩阵的乘积是正交矩阵 .是 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵 ，使也是对称矩阵 .PT AP =éêêêl1l2ùúúO ú=Ùêëlnúû(1)其中 的对角线元素的是的 个特征值，正交阵 的第 列是 的对应于特征值 i的特征向量.由(6)可知,对于任意的n阶实对称矩阵 ，只要能求得一个正交阵 ，使( 为对角阵),则可得到 A 的全部特征值及其相应的特征向量,这就是雅可比方法的理论基础.二 旋转变换设éa a ùA = 11 12a a21 22a =a为二阶实对称矩阵,即 12 21 .因为实对称矩阵与二次型是一一对应的 ,设 对应的二次型为f (x,x )=ax 2 +2a x x +a x 21 2 11 1 12 1 2 22 2 (2)f (x,x )=C x ,x由解析几何知识知道，方程 1 2 表示在 1 2 平面上的一条二次曲线 .如果将坐标轴Ox ,Ox12旋转一个角度q,使得旋转后的坐标轴Oy ,Oy12与该二次曲线的主轴重合 ,如图 4-1所示,ê ú êúê úx sin q cos q ysinq cosqPê úl.由于ê()ë4Aê úë ûcosq则在新的坐标系中,二次曲线的方程就化成ly 2 +ly 2 =C1 1 2 2这个变换就是éx ù écos q-sin qùéyù1 = 1ë û ë ûë û2 2变换(4)把坐标轴进行旋转, 所以称为旋转变换 .其中écos q-sin qùP =ê úë û(3)(5)(4)称为平面旋转矩阵。

显然有P T P =I,所以 是正交矩阵.上面的变换过程即él ùP T AP = 1ë û2éa cos 2 q+a sin 2 q+a sin 2q P T AP = 11 22 120.5 a -a sin 2q+a cos 2q 22 11 120.5(a -a )sin2q+a cos 2q 22 11 12a sin 2 q+a cos 2 q-a sin 2q 11 22 12ùúû所以只要选择q满足12(a -a )sin2q+a cos 2q=0 22 11 12即tan 2q2 a= 12a -a11 22(6)a =a(当 1122pq= 时，可选取 )P T AP就成对角阵，这时 的特征值为l =a cos 2q+a sin 2q+a sin 2q1 11 22 12l =a sin 2 q+a cos 2 q-a sin 2q相应的特征向量为2112212écos qùv = ,1 sinq三 雅可比方法v =2é-sinqù ê úë ûR nê1Oj(R n②P i j cos qiisinsin- qiiP T A AAP AiiP T AP A()()()ij雅可比方法的基本思想是通过一系列的由平面旋转矩阵构成的正交变换将实对称矩阵逐步化为对角阵,从而得到 变换A的全部特征值及其相应的特征向量.首先引进 中的平面旋转变换.ìx =y cosq-y sinqïíïîi i ix =y sinq+y cos j i ix =y k ¹i, jk kq(7)记为x =P yij,其中é1Oêê cosq L -sinqùúúúiêêM Múúê sin q L cos q ú ê úê újP =ijê úê ú êë 1úûix =(x x ... x )T1 , 2 , , n)Ty = y y ... y(8)则称x =P yij为 中x ,xij1 , 2 , , n平面内的一个平面旋转变换,Pij称为x ,xi j平面内的平面旋转矩阵.容易证明Pij具有如下简单性质：①Pij为正交矩阵.ii 的主对角线元素中除第 个与第 个元素为 外，其它元素均为 1；非对角线元素jj q中除第 行第 列元素为 ,第 行第 列元素为 外,其它元素均为零.j j③ 只改变 的第 行与第 行元素， 只改变 的第 列与第 列元素,所以j j只改变 的第 行、第 行、第 列、第 列元素.A = a (n³3)n a =a ¹0设 ij n´n 为 阶实对称矩阵, ij ji 为一对非对角线元素.令A =P T AP = a 1则A11为实对称矩阵,且A1与An´n有相同的特征值.通过直接计算知iiiijjij( 1 )ïï( 1 ) ( 1 )ïij jijjiiijï( 1 )( 1 )î()()ikjkikjkïïï( )()21îAïíîA()AAAiakjA AAìa ( 1 ) =a cos 2 q+a sin 2 q+a sin 2qïïa =a sin 2 q+a cos 2 q-a sin 2qjj ii jj ij1a =a = ( a -a )sin 2q+a cos 2q í 2a =a =a cos q+a sinq k ¹i, j ï ik ki ik jkïaïïa( 1 )jk( 1 )kl=ajk=akl( 1 )=-a sinq+a cosjk jkk ,l ¹i, jq k ¹i, j(9)当取q满足关系式tan 2q=2 aija -aiijj（10）a 1 =a 1 =0时， ij ji ，且ì(a(1))2+(a(1))2=a2+a2k¹i,jí(a(1))2+(a(1))2=a2+a2+2a2ii jj ii jj ijïa =a 2 k ,l ¹i, jkl klD (A)由于在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变，所以若用 表示矩阵 平方和，用 S (A)表示A的非对角线元素平方和,则由(11)式得ìD( A ) =D( A ) +2 a 21 ijïS( A ) =S( A ) -2 a 21 ij(11)的对角线元素(12)这说明用Pij对AA A作正交相似变换化为 1 后, 1 的对角线元素平方和比 的对角线元素平方2a 2 和增加了 ij ,A1的非对角线元素平方和比A2a 2的非对角线元素平方和减少了 ij ,且将事先选a 1 =0定的非对角线元素消去了 (即 ij ).因此，只要我们逐次地用这种变换，就可以使得矩阵 的非对角线元素平方和趋于零,也即使得矩阵 逐步化为对角阵.这里需要说明一点：并不是对矩阵 的每一对非对角线非零元素进行一次这样的变换就能得到对角阵.因为在用变换消去aij的时候,只有第ij j行、第 行、第 列、第 列元素在变化 ,P如果 ik 或 为零,经变换后又往往不是零了 .雅可比方法就是逐步对矩阵 进行正交相似变换,消去非对角线上的非零元素 ,直到将 的非对角线元素化为接近于零为止，从而求得 的全部特征值,把逐次的正交相似变换矩阵乘起来,便是所要求的特征向量 .雅可比方法的计算步骤归纳如下：第一步 在矩阵A的非对角线元素中选取一个非零元素aij.一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;Aê úëûêT=0 1 0ëûêëû第二步由公式tan 2q=2 aija -aiijj求出q，从而得平面旋转矩阵P =P1 IJ;A =P T AP A第三步 1 1 1 , 1 的元素由公式(9)计算. A A P第四步 以 1 代替 ，重复第一、二、三步求出 2 及 2 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止 .，继续重复这一过程，直到Am第五步Am的对角线元素为AP =P P ...P的全部特征值的近似值, 1 2 m 的第 j 列为对应于特征值l lj (jA为 m 的对角线上第 j 个元素)的特征向量.例 1 用雅可比方法求矩阵é2 -1 0ùA = -1 2 -1 ê úê0 -1 2 ú的特征值与特征向量.解首先取i =1, j =2,由于a =a =2 11 22,故取q=p4,所以é1 2 -1 2 0 êP。