2023年第三章第课时16.docx

第2课时　绝对值不等式的解法学习目标　1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解.知识点一　|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法思考1　|x|≥2说明实数x有什么特征？答案　x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.∴x≥2或x≤－2.思考2　若|2x－3|≤5，求x的取值范围.答案　{x|－1≤x≤4}.梳理　(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法①|x|＜a⇔②|x|＞a⇔(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.知识点二　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法思考　如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？答案　采用零点分段法.即令|x－a|＋|x－b|＝0，得x1＝a，x2＝b，(不妨设a＜b)|x－a|＋|x－b|＝梳理　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法.1.|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离.(　×　)2.|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}.(　×　)3.若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.(　√　)类型一　|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法例1　解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.解　(1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－，∴原不等式的解集为{x|x≥2或x≤－}.(2)原不等式等价于由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4，由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}.反思与感悟　|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为∅.(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.跟踪训练1　解下列不等式：(1)3≤|x－2|＜4；(2)||x－1|－4|＜2.解　(1)方法一　原不等式等价于由①，得x－2≤－3或x－2≥3，∴x≤－1或x≥5，由②，得－4＜x－2＜4，∴－2＜x＜6.∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.方法二　3≤|x－2|＜4⇔3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3⇔5≤x＜6或－2＜x≤－1.∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.(2)||x－1|－4|＜2⇔－2＜|x－1|－4＜2⇔2＜|x－1|＜6⇔⇔⇔⇔－5＜x＜－1或3＜x＜7.∴不等式||x－1|－4|＜2的解集为{x|－5＜x＜－1或3＜x＜7}.类型二　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法例2　解关于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|＞3.解　方法一　分类(零点分段)讨论法|3x－2|＝0，|x－1|＝0的根，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集.①因为当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，所以当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＞3⇔3－4x＞3⇔x＜0.因此，不等式组的解集为{x|x＜0}.②因为当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，所以当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＞3⇔x＞2.因此，不等式组的解集为∅.③因为当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，所以当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＞3⇔4x－3＞3⇔x＞.因此，不等式组的解集为.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即{x|x＜0}∪∅∪＝.方法二　构造函数f(x)＝|3x－2|＋|x－1|－3，则原不等式的解集为{x|f(x)＞0}.f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图.它是分段线性函数，函数的零点是0和.从图象可知，当x∈(－∞，0)∪时，有f(x)＞0.所以原不等式的解集是(－∞，0)∪.反思与感悟　|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况.跟踪训练2　解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.解　方法一　|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点－7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1].方法二　令x＋7＝0，x－2＝0，得x＝－7，x＝2.①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，∴－9≤3成立，∴x＜－7.②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3不成立，即9≤3不成立，∴x∈∅.∴原不等式的解集为(－∞，－1].方法三　将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，即y＝作出函数的图象，由图象可知，当x≤－1时，y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0，∴原不等式的解集为(－∞，－1].类型三　含绝对值不等式的恒成立问题例3　已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围.解　(1)∵当a＝－3时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，∴f(x)≤6，等价于|2x＋1|＋|2x－3|－6≤0，令g(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|－6，令|2x＋1|＝0，|2x－3|＝0，得x1＝－，x2＝.∴g(x)＝作y＝g(x)的图象，如图，∴f(x)≤6的解集为[－1,2].(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|≥|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，∴f(x)min＝|a－1|.要使f(x)＞a恒成立，只需|a－1|＞a成立即可.由|a－1|＞a，得a－1＞a或a－1＜－a，∴a＜，∴a的取值范围是(－∞，).引申探究若f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|且f(x)＜a恒成立，求a的取值范围.解　∵f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，∴f(x)max＝|a－1|.∵f(x)＜a恒成立，∴|a－1|＜a，∴－a＜a－1＜a，∴a＞，∴a的取值范围是(，＋∞).反思与感悟　不等式解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题.f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.跟踪训练3　已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.根据以下情形分别求出m的取值范围.(1)若不等式有解；(2)若不等式的解集为R；(3)若不等式的解集为∅.解　方法一　因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差，即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.则(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的取值范围为(－∞，1).(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1).(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞).方法二　由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1).(2)若不等式的解集为R，则m∈(－∞，－1).(3)若不等式的解集为∅，则m∈[1，＋∞).1.不等式|x＋1|＞3的解集是(　　)A.{x|x＜－4或x＞2}B.{x|－4＜x＜2}C.{x|x＜－4或x≥2}D.{x|－4≤x＜2}答案　A解析　|x＋1|＞3，则x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.2.不等式＞0的解集为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　原不等式⇒⇒⇒3.不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的所有实数解的集合是(　　)A.(－3,2) B.(－1,3)C.(－4,1) D.答案　C解析　|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离之和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4,1).4.已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m的取值范围是(　　)A.m＞1 B.m≥1 C.m＞2 D.m≥2答案　C解析　∵|x－5|＋|x－3|≥|(x－5)－(x－3)|＝2，∴m＞2.5.解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解　(1)当x≤－时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－(3x＋2)≥8⇔－5x≥9⇔x≤－，∴x≤－.(2)当－＜x＜时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x≥5，∴x∈∅.(3)当x≥时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇒x≥，∴x≥.∴原不等式的解集为∪.1.解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可.(2)当c＜0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成。