摆线与力学(精品).doc

星形线与力学（趣味力学），谢建华，2009-11-13 星形线与力学目录：1. 内摆线2. Matlab作内摆线的图形3. 星形线与性质4. 随意平衡5. 通过问题6. 公共汽车门开启时间问题 1. 内摆线 图1内摆线与方程如图1所示，半径为的小圆在另一个半径为的大圆内作纯滚动，小圆边缘上的点轨迹称为内摆线为确定点的轨迹方程，设初始时，点与定点重合，并建立直角坐标系如图1由于小圆作纯滚动，弧长等于弧长，故有 (1)于是 点的坐标为 (2)记，摆线方程为 (3)当的内摆线如图2所示 令就得到星形线的方程 (4)利用三角公式 由(4)得 (5)消去后，得 (6)2．Matlab作内摆线的图形(暂缺) 图2 内摆线 3. 星形线与性质 图3星形线的性质 作大圆半径，其中是两圆的接触点，是小圆的直径。

过与点作直线，分别交轴和轴于点和点由于弧长等于弧长，及，有 , 及 , 所以与都是等腰三角形，故有 (7)及 (8)由于点是小圆的速度瞬心，其上点的速度垂直于，即指向点，于是是星形线的切线我们得到如下结论：(A) 星形线任一切线被轴和轴所截长度为的线段，切线方程为 (9)(B) 如长度为的线段两端点分别限制在两相互垂直的直线上移动，其包络线是星形线(6)4.随意平衡问题：问题：在一堵光滑铅直的墙面与光滑曲面之间搁置一根长度为的均匀杆，光滑曲面应为什么形状，使杆在任何位置都能平衡？因为杆在任一位置可保持平衡其重心高度为一常值，即重心在同一水平线上，另外杆的端点始终在铅直线上，因此应为星形线，如果坐标系如图4所示，则其方程为： (10) 图4 随意平衡问题5. 通过问题： 图 5 通过问题问题：有一直角过道两边各宽和，问能容许多宽的柜子通过？柜子如图放置时其宽为 (11)显然容许通过柜子的宽度应小于上述函数的最小值，令 (12)解出 (13) ，容易计算出： (14)故 (15) 解法二：星形线方程为 (16) 墙角的坐标为恰好在星形线(16)上，由此条件得到 6.公共汽车门开启时间问题： 图 6公共汽车门开启问题 折叠门开启时间：如图6(a)所示，点坐标： (17)系统动能： (18)动能定理： (19)由(19) (待算) (20)已知参数：。

普通门开启时间：如图6(c)，门的动能为： (21)动能定理： (22)由(22) (23)7. 公共汽车门开启所占空间问题 折叠门所占空间问题我们来讨论公共汽车们开启过程所占空间问题如图6(a)，在折叠门在开门过程中，直线簇的包络线是星形线，其方程为 (24)由直线簇形成包络线的过程，可知门在空间所占的位置如图中曲线，轴和轴正向所包围的区域(图6(b))，其中星形线的一段()，点的坐标为将分成，和，其中的面积为： ，而 门所占空间问题如果用普通的门（图6(c)），则 折叠门所需的空间只是普通门的倍。