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高阶微分方程高阶微分方程 习题课习题课一、主要内容一、主要内容高阶方程高阶方程可降阶方程可降阶方程线性方程解的结构线性方程解的结构二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特特征征根根法法特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项待待定定系系数数法法f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非非全全微微分分方方程程非非变变量量可可分分离离幂级数解法幂级数解法降降降降阶阶阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法 型型解法解法接连积分接连积分n次，得通解．次，得通解． 型型特点特点解法解法代入原方程代入原方程, 得得 型型特点特点解法解法代入原方程代入原方程, 得得2 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（（1 1）　二阶齐次方程解的结构）　二阶齐次方程解的结构: :（（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解非齐通解 = 齐通解齐通解 + 非齐特解非齐特解3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.特征方程为特征方程为推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项4 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法　　待定系数法待定系数法.二、典型例题二、典型例题例例1 1解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为例例2 2解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为例例3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为设二阶非齐次线性方程的三个特解为求其通解求其通解解解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解相应齐方程的解故故是齐方程的两个解是齐方程的两个解齐通解齐通解且线性无关且线性无关非齐通解非齐通解例例4 设设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分使曲线积分与路径无关与路径无关解解 由曲线积分与路径无关的条件得由曲线积分与路径无关的条件得即即这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解齐通解例例5 5解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得由由即即故原方程的通解为故原方程的通解为例例6 6解解（１）　由题设可得：（１）　由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得（２）　原方程为（２）　原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为测测 验验 题题测验题答案测验题答案。