线性方程组解的存在性.ppt

 § 1、线性方程组解的存在性、线性方程组解的存在性对线性方程组对线性方程组方程组的方程组的系数矩阵系数矩阵方程组的方程组的增广矩阵增广矩阵 其中其中 为为 维列向量，维列向量， 记记 为未知元向量为未知元向量则方程组可写成矩阵形式：则方程组可写成矩阵形式：当当 时，称时，称 为为齐次线性方程组齐次线性方程组关于线性方程组关于线性方程组 是否有解，我们有下面的定理是否有解，我们有下面的定理 定定理理：：线线性性方方程程组组 有有解解的的充充分分必必要要条条件件是是增增广广矩矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，即：阵的秩与系数矩阵的秩相等，即：推论推论 任何齐次线性方程组都有解任何齐次线性方程组都有解 因为，对齐次线性方程组因为，对齐次线性方程组 ，增广矩阵为，增广矩阵为显然有显然有 由由于于 与与 的的关关系系：： ，，故故对对 施施行行初初等等行行变变换换，，在在求求出出 的的秩秩的的同同时时，，也也就就求求出出了了 的的秩秩，，从从而而可可判判定定方方程程组是否有解。

组是否有解例例1 判定下面方程组当判定下面方程组当 为何值时有解？为何值时有解？ 解：解：当当 时时 ，此时方程组有解，此时方程组有解 定理：定理： 若线性方程组若线性方程组 有解，记有解，记n 为未知元的个数，则当为未知元的个数，则当 时，线性方程组有唯一解；时，线性方程组有唯一解；当当 时，线性方程组有无穷多个解，且解中包含时，线性方程组有无穷多个解，且解中包含 个自个自由未知数由未知数 推论推论 对齐次线性方程组对齐次线性方程组 ，当，当 时，只有时，只有零解；当零解；当 时，有无穷多个解，因此必有非零解时，有无穷多个解，因此必有非零解如如所以该方程组必有非零解所以该方程组必有非零解系数矩阵系数矩阵解：解：所以方程组有无穷多解，并且有一个自由未知数所以方程组有无穷多解，并且有一个自由未知数。