辅助角公式的推导.docx

辅助角公式 asin bcos a2 b2 sin( ) 的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化 a sin b cos 为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等 . 为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法 , 教师们总结出公式a sin b cos = a2 b2 sin( ) 或 a sin b cos = a2 b2 ·cos( ) , 让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用 . 但事与愿违 , 半个学期不到 , 大部分学生都忘了 , 教师不得不重推一遍 . 到了高三一轮复习 , 再次忘记 , 教师还得重推 ! 本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导 , 体现一种解决问题的过程与方法 , 减轻学生的记忆负担 ; 同时说明“辅助角” 的范围和常见的取角方法 , 帮助学生澄清一些认识 ; 另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用 , 优化解题过程与方法 ; 最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用 , 让学生把握辅助角与原生角的范围关系 , 以更好地掌握和使用公式 .一 . 教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1. 引例例 1求证： 3 sin+cos =2sin （ +）=2cos（ -） .63其证法是从右往左展开证明 , 也可以从左往右“凑” , 使等式得到证明 , 并得出结论 :可见 , 3 sin +cos 可以化为一个角的三角函数形式 .一般地 ,asin +bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢 ?2. 辅助角公式的推导例 2 化 a sinb cos为一个角的一个三角函数的形式 .解: asin+bcos=a2b2 (a2asin +bcos ),b2a2b2① 令a=cos,b=sin,a2b2a2b2则 asin+bcos=a2b2 (sincos+cossin)= a2b2 sin(+),(其中 tan= b )a1② 令a=sin,b=cos, 则a2a2b2b2asin+bcos =a2b2 (sinsin+coscos )= a2b2 cos(-),(其中 tan=a)b其中的大小可以由 sin、cos的符号确定的象限 , 再由 tan的值求出 . 或由 tan= b 和(a,b)所在的象限来确定 .a推导之后 , 是配套的例题和大量的练习 .但是这种推导方法有两个问题 : 一是为什么要令ab=sin?让学生费解 . 二是这种 “规定”式的推a2=cos,b2a2b2导 , 学生难记易忘、易错 !二 . 让辅助角公式 a sinb cos= a2b2 sin() 来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些 ?这是我多少年来一直思考的问题 .2009 年春 . 我又一次代 2008 级学生时 , 终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法 .首先要说明，若 a=0 或 b=0 时， a sinb cos已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简 . 故有 ab≠ 0.1. 在平面直角坐标系中 , 以 a 为横坐的终边标 ,b 为纵坐标描一点 P(a,b)如图 1 所示,y则总有一个角, 它的终边经过点 P. 设P(a,b)OP=r,r=a2b2 , 由三角函数的定义知rsinb=b,Ox=ra2b2图 1cosaa.=a2b2r所以 asin+bcos==a2b2 cossin+ a2b2 sincos=a2b2 sin() .( 其中 tan= b )a22. 若在平面直角坐标系中 , 以 b 为横坐标 , 以 a 为纵坐标可以描点P(b,a),的终边如图 2 所示 , 则总有一个角的终边经过y点 P(b,a),设 OP=r,则 r=a2b2. 由三P(b,a)角函数的定义知rsina=a,=a2rb2Oxbb图 2cos.= =a2b2rasin+bcos=a2b2 sin sina2b2 coscos=a2b2 co s() . ( 其中 tan= a )b例 3化3sincos为一个角的一个三角函数的形式 .解: 在坐标系中描点 P(3,1),设 角的终边过点 P,则 OP=r=3212 =2.sin=1,cos=3.22∴3sincos=2cossin+2sincos =2sin().tan3.=32k, ∴ 3sincos=2sin().66经过多次的运用 ,同学们可以在教师的指导下, 总结出辅助角公式asin+bcos=a2b2(asin+bcos)=a2b2a2b2a2b2 sin() ,(其中 tan= b ). 或者aasin+bcos=a2b2(asin+bcos)=a2b2a2b2a2b2cos() ,( 其中 tan= a )b3我想这样的推导, 学生理解起来会容易得多, 而且也更容易理解asin+bcos 凑成a2b2 (asin+bcos)的道理,以a2b2a2b2及为什么只有两种形式的结果 .例 4 化 sin3 cos为一个角的一个三角函数的形式 .解法一:点 (1,-3)在第四象限.OP=2.设角过 P点 . 则sin3,cos1满足 条件的最小正角为2.2552k, kZ.3,3sin3 cos2( 1 sin3 cos )2(sincoscos sin )222sin()2sin(52k )2sin(5).33解法二:点P(-3 ,1)在第二象限,OP=2,设 角过 P点 . 则sin1cos3满足 条件的最小正角为,.22552k, kZ.6,6sin3 cos2( 1 sin3 cos)2(sinsincoscos )222cos()2cos(52k )2cos。