平面解析几何硬解方法及便捷规律珍藏.doc

平面解析几何1. 圆锥曲线比照表2. 硬解定理容3. 结论与推论第一局部 圆锥曲线比照表圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程*²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)*²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0)y²=2p* (p>0)围*∈[-a,a]y∈[-b,b]*∈(-∞，-a]∪[a,+∞)y∈R*∈[0,+∞)y∈R对称性关于*轴，y轴，原点对称关于*轴，y轴，原点对称关于*轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)【其中c²=a²-b²】(c,0),(-c,0)【其中c²=a²+b²】(p/2,0)准线*=±a²/c*=±a²/c*=-p/2渐近线——————y=±(b/a)*—————离心率e=c/a,e∈〔0,1)e=c/a,e∈〔1,+∞〕e=1焦半径∣PF₁∣=a+e*∣PF₂∣=a-e*∣PF₁∣=∣e*+a∣∣PF₂∣=∣e*-a∣∣PF∣=*+p/2焦准距p=b²/cp=b²/cp通径2b²/a2b²/a2p参数方程*=a·cosθy=b·sinθ，θ为参数*=a·secθy=b·tanθ，θ为参数*=2pt²y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点(*0,y0〕的切线方程*0·*/a²+y0·y/b²=1*0*/a²-y0·y/b²=1y0·y=p(*+*0)斜率为k的切线方程y=k*±√(a²·k²+b²)y=k*±√(a²·k²-b²)y=k*+p/2k第一局部 硬解定理容CGY-EH定理〔圆锥曲线硬解定理〕假设曲线与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:其中 △‘为一与△同号的值，定理说明应用该定理于椭圆  时,应将  代入。

应用于双曲线  时,应将  代入同时 不应为零,即ε不为零求解y1+y2与 y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变定理补充联立曲线方程与y=k*+ 是现行高考中比联立〞A*+By+C=0“更为普遍的现象其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，*1+*2，*1*2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用假设曲线  与直线y=k*+  相交于E、F两点,则:这里的  既可以是常数，也可以是关于k的代数式由这个公式我们可以推出：假设曲线  为椭圆 ,则假设曲线  为双曲线 ,则由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分〔省略号的容需要考生自己填写〕：联立两方程得……〔二次式子〕〔*〕所以*1+*2=……①，*1*2=……②；所以|*1-*2|=√〔*1+*2〕^2-4*1*2=……〔此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简〕化简得|*1-*2|=  (偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长 了定理简证设曲线*^2/m+y^2/n=1①与直线 Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：(A^2 m+B^2 n) *^2+2ACm*+C^2 m-mnB^2=0应用韦达定理，可得:*_1+*_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)*_1 *_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)∆=4mnB^2 (ε-C^2)对于等价的一元二次方程∆的数值不唯一,且 ∆的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2>0恒成立,则可取与∆同号的∆'=mn(ε-C^2)作为∆的值。

[3]由|EF|=√(〖(*_1-*_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2 )=√((1+A^2/B^2 )[〖(*_1+*_2)〗^2-4*_1 *_2 ] )可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2 m+B^2 n-C^2))/(|A^2 m+B^2 n|)令ε=A^2 m+B^2 n 则得到CGY-EH定理:*_1+*_2=(-2ACm)/ε ; *_1 *_2=(m(C^2-B^2 n))/ε ; ∆'=mn(ε-C^2) ; |EF|=(2√((A^2+B^2)∆'))/(|ε|)第一局部 结论与推论一、椭圆的常用结论：1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切.5. 假设在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6. 假设在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆〔a＞b＞0〕的焦半径公式,( ,).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12. 假设在椭圆，则被Po所平分的中点弦的方程是；【推论】：1、假设在椭圆，则过Po的弦中点的轨迹方程是椭圆〔a＞b＞o〕的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2、过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且〔常数〕.3、假设P为椭圆〔a＞b＞0〕上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.4、设椭圆〔a＞b＞0〕的两个焦点为F1、F2,P〔异于长轴端点〕为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.5、假设椭圆〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6、P为椭圆〔a＞b＞0〕上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.7、椭圆与直线有公共点的充要条件是.8、椭圆〔a＞b＞0〕，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.〔1〕;〔2〕|OP|2+|OQ|2的最大值为;〔3〕的最小值是.9、过椭圆〔a＞b＞0〕的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交*轴于P，则.10、椭圆〔 a＞b＞0〕 ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与*轴相交于点, 则.11、设P点是椭圆〔 a＞b＞0〕上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .12、设A、B是椭圆〔 a＞b＞0〕的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .13、椭圆〔 a＞b＞0〕的右准线与*轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 〔注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点.〕17、椭圆焦三角形中,心将点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为、外点到椭圆中心的比例中项.二、双曲线的常用结论：1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的角.2、PT平分△PF1F2在点P处的角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔切：P在右支；外切：P在左支〕5、假设在双曲线〔a＞0,b＞0〕上，则过的双曲线的切线方程是.6、假设在双曲线〔a＞0,b＞0〕外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7、双曲线〔a＞0,b＞o〕的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8、双曲线〔a＞0,b＞o〕的焦半径公式：( , 〕当在右支上时，,；当在左支上时，,。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11、AB是双曲线〔a＞0,b＞0〕的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即12、假设在双曲线〔a＞0,b＞0〕，则被Po所平分的中点弦的方程是.13、假设在双曲线〔a＞0,b＞0〕，则过Po的弦中点的轨迹方程是.【推论】：1、双曲线〔a＞0,b＞0〕的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2、过双曲线〔a＞0,b＞o〕上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且〔常数〕.3、假设P为双曲线〔a＞0,b＞0〕右〔或左〕支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则〔或〕.4、设双曲线〔a＞0,b＞0〕的两个焦点为F1、F2,P〔异于长轴端点〕为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.5、假设双曲线〔a＞0,b＞0〕的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6、P为双曲线〔a＞0,b＞0〕上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.7、双曲线〔a＞0,b＞0〕与直线有公共点的充要条件是.8、双曲线〔b＞a ＞0〕，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.〔1〕;〔2〕|OP|2+|OQ|2的最小值为;〔3〕的最小值是.9、过双曲线〔a＞0,b＞0〕的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交*轴于P，则.10、双曲线〔a＞0,b＞0〕,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与*轴相交于点, 则或.11、设P点是双曲线〔a＞0,b＞0〕上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .12、设A、B是双曲线〔a＞0,b＞0〕的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .13、双曲线〔a＞0,b＞0〕的右准线与*轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14、过双曲线焦。