2013年高考理科数学安徽卷word解析版.doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．参考公式：如果事件A与B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题　共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，理1)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若，则z＝(　　)．A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案：A解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋bi＝1＋i.2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)．A． B． C． D．答案：D解析：开始2＜8，，n＝2＋2＝4；返回，4＜8，，n＝4＋2＝6；返回，6＜8，，n＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出.3．(2013安徽，理3)在下列命题中，不是公理的是(　　)．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案：A解析：由立体几何基本知识知，B选项为公理2，C选项为公理1，D选项为公理3，A选项不是公理．4．(2013安徽，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：函数f(x)的图象有以下三种情形： a＝0 　a＞0 　a＜0由图象可知f(x)在区间(0，＋∞)内单调递增时，a≤0，故选C.5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(　　)．A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案：C解析：五名男生成绩的平均数为(86＋94＋88＋92＋90)＝90，五名女生成绩的平均数为(88＋93＋93＋88＋93)＝91，五名男生成绩的方差为＝＝8，五名女生成绩的方差为＝，所以，故选C.6．(2013安徽，理6)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(10x)＞0的解集为(　　)．A．{x|x＜－1或x＞－lg 2}B．{x|－1＜x＜－lg 2}C．{x|x＞－lg 2}D．{x|x＜－lg 2}答案：D解析：由题意知－1＜10x＜，所以x＜＝－lg 2，故选D.7．(2013安徽，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)．A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1答案：B解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.8．(2013安徽，理8)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得，则n的取值范围是(　　)．A．{3,4} B．{2,3,4}C．{3,4,5} D．{2,3}答案：B解析：可化为，故上式可理解为y＝f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n可看成过原点的直线与y＝f(x)的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n＝2，②为n＝3，③为n＝4.9．(2013安徽，理9)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足，则点集所表示的区域的面积是(　　)．A． B．C． D．答案：D解析：以，为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴对称，由已知||＝||＝·＝2，可得出∠AOB＝60°，点A(，1)，点B(，－1)，点D，0)．现设P(x，y)，则由＝λ＋μ得(x，y)＝λ(，1)＋μ(，－1)，即由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R，可得画出动点P(x，y)满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为.10．(2013安徽，理10)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是(　　)．A．3 B．4 C．5 D．6答案：A解析：由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示， x1＜x2 　　x2＜x1由图象可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题　共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013安徽，理11)若的展开式中x4的系数为7，则实数a＝__________.答案：解析：∵的通项为，∴8－r－＝4，解得r＝3.∴，得.12．(2013安徽，理12)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝__________.答案：解析：∵3sin A＝5sin B，∴3a＝5b.①又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，，，∴，∴.13．(2013安徽，理13)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．答案：[1，＋∞)解析：如图，设C(x0，)(≠a)，A(，a)，B(，a)，则＝(，)，＝(，)．∵CA⊥CB，∴·＝0，即－(a－)＋(a－)2＝0，(a－)(－1＋a－)＝0，∴＝a－1≥0，∴a≥1.14．(2013安徽，理14)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是__________．答案：解析：设＝S，∵a1＝1，a2＝2，OAn＝an，∴OA1＝1，OA2＝2.又易知△OA1B1∽△OA2B2，∴.∴＝3＝3S.∵所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，且△OA1B1∽△OAnBn，∴.∴，∴.15．(2013安徽，理15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为答案：①②③⑤解析：当CQ＝时，D1Q2＝＋C1Q2＝，AP2＝AB2＋BP2＝，所以D1Q＝AP，又因为AD1∥2PQ，所以②正确；当0＜CQ＜时，截面为APQM，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；图(1)如图(2)，当CQ＝时，由△QCN∽△QC1R得，即，C1R＝，故③正确；图(2)如图(3)所示，当＜CQ＜1时，截面为五边形APQMF，所以④错误；当CQ＝1时，截面为APC1E，图(3)可知AC1＝，EP＝，且四边形APC1E为菱形，S四边形APC1E＝，故⑤正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(2013安徽，理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝.若0≤x≤，则.当，即时，f(x)单调递增；当，即时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．17．(2013安徽，理17)(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a＞0)有两个实根x1＝0，，故f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}．因此区间，I的长度为.(2)设d(a)＝，则d′(a)＝.令d′(a)＝0，得a＝1.由于0＜k＜1，故当1－k≤a＜1时，d′(a)＞0，d(a)单调递增；当1＜a≤1＋k时，d′(a)＜0，d(a)单调递减．所以当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．而，故d(1－k)＜d(1＋k)．因此当a＝1－k时，d(a)在区间[。