数值分析(李庆杨第四版)Cht588730.ppt

§1 引言与预备知识,第5章 解线性代数方程组的直接法,一、引言,线性方程组的来源,线性方程组的分类,线性方程组的两类解法：1、直接法2、迭代法,二、向量和矩阵(略),三、特殊矩阵,对角矩阵 三对角矩阵 上三角矩阵 上海森伯(Hessenberg)阵 对称矩阵 埃尔米特矩阵 对称正定矩阵 正交矩阵 酉矩阵 初等置换阵 置换阵,定理1 设A∈Rnⅹn, A非奇异⇔…?,定理2 若A∈Rnⅹn对称正定矩阵，则⇒…?,定理3 若A∈Rnⅹn对称矩阵，则对称正定矩阵<=…?,定理4(若当标准型)…,其中,对角化的条件：1）…；2） ….,§2 高斯消去法,一、高斯消去法,设有线性方程组：AX=b,例1（略）,一般地,顺序高斯消去法:,（1）消元过程,其中,第一步：若,用,乘第一行,加到第i行中，得到,第二步：若,用… ….,… …,第k步：若,用,乘第k行,加到第i行中，得到,其中,第n-1步： … …,（2）回代过程,若,则,说明: 若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解定理5 (1),可以通过高斯消去法求解.,(2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去 法进行求解。

列主元高斯消去法的必要性,简例:,算法.,乘除法运算工作量,消元过程乘除法次数：,回代过程乘除法次数：,总的乘除法运算次数：,非零判断次数最多为：,行交换的元素个数为：,作业 P229, 2.,二、矩阵的三角分解,下面建立高斯消去法与矩阵的因式分解的关系.,§3 高斯主元素消去法,例3’采用3位十进制，用消元法求解,解法1：,解法2：,全主元消去法;列主元消去法.,一、列主元消去法,设有线性方程组：AX=b,第一步:先在A的第一列选取绝对值最大的元素作主元素,,然后交换第1行和第i1行(当i1≠1时),再进行第1次消元.,… …,第k步选主元素,,然后交换第k行和第ik行(当ik≠k时),再进行第k次消元.,… …,第n-1步,回代求解,算法(列主元消去法).,… … (见P177),下面用矩阵描述列主元消去法,,说明: L, U, Ip的存贮.,二、高斯—若当消去法,算法(高斯—若当消元法).,例4 采用高斯—若当消去法求矩阵,的逆A-1 .,作业 P230, 3,7.,§4 矩阵的三角分解法,设有线性方程组：AX=b,一、直接三角分解法,1、不选主元三角分解算法 当A非奇异时，由不需选主元的顺序高斯消去法知,就有,不选主元的三角分解算法：,于是，可以通过求解两个三角形方程组,得到原方程组的解,,求解方程组计算公式:,说明:,L和U的存放;计算∑aibi; 运算量n3/3;,Doolittle分解法;求解方程组优点.,练习,利用LU(Doolittle)分解法求解方程组,2、选主元直接三角分解法,当需选主元时，PA=LU.,设第r-1步已完成,就有,选主元三角分解算法：,求解Ly=Pb及Ux=y的算法：,二、平方根法,应用有限元法解结构力学问题时，最后归结为求解线性代数方程组，系数矩阵往往对称正定。

平方根法是一种对称正定矩阵的三角分解法，广泛用于求解系数矩阵为对称正定的线性代数方程组设A为对称矩阵,且顺序主子式不为零，则,若A为对称正定矩阵,则,解AX=b的平方根法:…,解AX=b的改进平方根法(略去),三、解三对角方程组的追赶法,在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立三次样条函数时，都会要解三对角方程组：AX=b,并且满足,条件(i)保证方程组不能降阶，条件(ii)保证三角分解可做到底下面讨论三角分解,比较两边得到,解三对角方程组的追赶法,说明: 稳定性；运算量5n-4次乘除法；存贮.,练习 用追赶法求解三对角线性方程组AX=b，其中,作业: P230 4,8.,§5 向量和矩阵的范数,为了研究线性方程组的近似解的误差估计和迭代法的 收敛性, 我们需要对Rn中的向量(或Rnⅹn中的矩阵)的 大小引进某种度量——向量(或矩阵)的范数.,先考虑Rn中向量的长度, 然后可定义向量(或矩阵)的范数.,定义1 在Rn中，对 =(a1,a2, ,an)T，  =(b1,b2, ,bn)T， 数量积: (, )= T= a1b1+a2b2+  +anbn. 欧氏范数: ||||2 = (, )1/2 .,在Cn中，(, )= H.,(1) 正定性：,等号当且仅当,时成立；,(2) 齐次性：,(3) 三角不等式：,则称,为向量,的范数或模.,由(3)得,(4),几种常用范数,(无穷范数),(1-范数),(2-范数),(p-范数),可以验证它们都是范数. 易见前三种范数是p-范数的特殊情况,例6 计算向量,的几种常用范数,定义4(矩阵的范数),(1) 正定性：,等号当且仅当,时成立；,(2) 齐次性：,(3) 三角不等式：,则称,为 矩阵,的范数或模。

诱导出的常用范数有：,它们满足如下相容关系：,例7 计算矩阵,的几种常用范数,§6 误差分析,一、矩阵的条件数,考虑线性方程组AX=b 系数矩阵A和右端b的小扰动所产生的相对误差.,例8 方程组,准确解为,常数项微小变化后,准确解,定义7 如果矩阵A或常数项b的微小变化,引起线性方程组AX=b的解的巨大变化,则称此方程组为病态方程组矩阵A称为病态矩阵,否则称方程组为良态方程组,矩阵A为良态矩阵.,作业: P231, 11, 14.,例9 求Hilbert矩阵H3的条件数.,如何发现判断矩阵是病态的?,如何解决和处理?,预处理方法.,例10 设,则,化为,则,二、迭代改善法(略去),§7 矩阵的正交三角化及应用,本节介绍初等反射阵和平面旋转阵，矩阵正交化，及其 在矩阵计算中的应用.,一、初等反射阵,作业: P231, 17, 20.,二、平面旋转矩阵,三、矩阵的QR分解,四、求解超定方程组,例12 用正交约化方法求解超定方程组,的最小二乘解.,。