考研数学D2考研基础班课件.ppt

第二章 一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分三、典型题型的解题方法与技巧三、典型题型的解题方法与技巧1考研数学D2考研基础班一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用★★导数导数 : :当当时时, ,为右导数为右导数当当时时, ,为左导数为左导数★★微分微分 : :★★可导与可微的概念：可导与可微的概念：可导可导存在存在. .可微可微其中其中A是与是与无关的常数无关的常数.特点是：特点是：““分分子一定一动，子一定一动，分母有左有右分母有左有右” ” 分子是函分子是函数值之差，数值之差， 分分母是相应的自母是相应的自变量之差，分变量之差，分母趋于零的极母趋于零的极限限. .能能2考研数学D2考研基础班联系联系:区别：区别：可从定义式子；可从定义式子；实质；实质；几何意义几何意义三方面考察三方面考察.是函数相对于自变量的是函数相对于自变量的变化率变化率.是相对于自变量改变量为是相对于自变量改变量为时，时，★★导数与微分的区别与联系导数与微分的区别与联系函数改变量函数改变量的的线性主部线性主部.即即当当是曲线的纵坐是曲线的纵坐标增量时，标增量时，就是切就是切 线纵坐标对应的增量线纵坐标对应的增量. .3考研数学D2考研基础班★★可导与可微的区别与联系可导与可微的区别与联系:区别区别：可从定义式子；几何意义两方面考察：可从定义式子；几何意义两方面考察.可导可导存在存在. .可导可导一定有切线一定有切线 且切线不垂直于且切线不垂直于x轴轴.以直代曲以直代曲当当很小时，很小时，在在点点M的附近的附近，，可用切线段近似地代替曲线段可用切线段近似地代替曲线段. .可微可微联系：联系： 可微必可导，可微必可导，可导必可微可导必可微.可微可微其中其中A是与是与无关的常数无关的常数.能能4考研数学D2考研基础班★★ 几个定理几个定理 定理定理1 定理定理2定理定理3在在处可导处可导在在处连续处连续在在处的极限一定存在，处的极限一定存在， 即即存在存在.在在可微可微可微可微可导可导连续连续有极限有极限有定义有定义在点在点 可微可微 在点在点 处可导处可导5考研数学D2考研基础班思考：思考：6考研数学D2考研基础班★★应用应用 : :(1)(1) 利用导数定义解决的问题利用导数定义解决的问题 (2) (2) 用导数可求切线与法线的方程用导数可求切线与法线的方程4 4））用导数定义求极限；用导数定义求极限；2) 2) 求分段函数在分界点处的导数求分段函数在分界点处的导数 , ,及某些特殊及某些特殊函数在特殊点处的导数函数在特殊点处的导数; ;3) 3) 由导数定义证明一些命题；由导数定义证明一些命题；1) 1) 利用导数的定义求函数在某点处的导数；利用导数的定义求函数在某点处的导数；用导数可求变速直线运动的速度与加速度用导数可求变速直线运动的速度与加速度5 5）判断函数在某一点的可导性）判断函数在某一点的可导性. .7考研数学D2考研基础班1）几何应用）几何应用(1)几何意义：几何意义：是是y=f(x)在点在点(2)切线、法线的方程：切线、法线的方程：切线的方程：切线的方程：法线的方程：法线的方程：2）物理应用）物理应用瞬时速度：瞬时速度：瞬时加速度：瞬时加速度：处切线的处切线的斜率斜率.8考研数学D2考研基础班二、二、 导数和微分的求法（微分法）导数和微分的求法（微分法）1. 正确使用导数及微分公式（正确使用导数及微分公式（16个）和法则（四则个）和法则（四则法则；锁链法则；反函数求导法则）法则；锁链法则；反函数求导法则） 2. 熟练掌握求导方法和技巧熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数求分段函数的导数注意讨论分注意讨论分界点界点处左右导数是否存在和相等处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法隐函数求导法(直接法、微分法）直接法、微分法） (3) 参数方程求导法（复合函数法、微商法）参数方程求导法（复合函数法、微商法）(5) 复合函数求导法复合函数求导法 (可利用微分形式不变性可利用微分形式不变性)(6) 高阶导数的求法高阶导数的求法 （逐次求导归纳（逐次求导归纳 ;间接求导法）间接求导法）(4) 对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用）及幂指函数有用）9考研数学D2考研基础班3.3.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 (P94) (P94)及法则及法则10考研数学D2考研基础班★★有限次四则运算的求导法则（注意条件）有限次四则运算的求导法则（注意条件）( C为常数为常数 )★★复合函数求导法则复合函数求导法则（注意条件）（注意条件）★★反函数的求导法则反函数的求导法则（注意条件）（注意条件）★★初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数.注意注意:11考研数学D2考研基础班4.高阶导数高阶导数1 1）定义：）定义：）定义：）定义： 如果函数如果函数的导数的导数在点在点处处可导可导可导可导，，即即存在存在存在存在则称则称为函数为函数在点在点处的处的二阶导数二阶导数二阶导数二阶导数. .记作记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. . . .一般地，一般地， 函数函数函数函数的的的的n-1 1阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数的的的的n阶导数阶导数阶导数阶导数. . . .相应地，相应地，称为称为零阶导数零阶导数零阶导数零阶导数，，称为一阶导数称为一阶导数称为一阶导数称为一阶导数. . . .12考研数学D2考研基础班2) 2) 2) 2) 高阶导数的计算：高阶导数的计算：高阶导数的计算：高阶导数的计算：(C为常数为常数)直接法和间接法直接法和间接法(3)乘积乘积该公式称为该公式称为莱布尼兹公式，莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆它和二项式公式有类似的记忆3)高阶导数的高阶导数的基本公式基本公式13考研数学D2考研基础班1.有以上公式与法则，我们就可以对各类函数有以上公式与法则，我们就可以对各类函数（显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分（显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分段函数等）求各阶段函数等）求各阶导导(函）数函）数及及微分微分.2.求导时应认清结构及变量之间的关系求导时应认清结构及变量之间的关系.3.求导时应认清谁是自变量谁是函数求导时应认清谁是自变量谁是函数.对哪一个变量求导对哪一个变量求导.4.应正确使用符号应正确使用符号.如如说明说明 ：：符号符号 的优点的优点:1.表示导数时能显示谁是函数谁是表示导数时能显示谁是函数谁是自变量自变量2.表示微分时有商的含义，故表示微分时有商的含义，故3.隐含着微分形式的不变性隐含着微分形式的不变性14考研数学D2考研基础班例例1.设设存在存在,求求解解: 原式原式=处可导处可导三、典型题型的解题方法及技巧三、典型题型的解题方法及技巧题型题型1：已知导数求极限：已知导数求极限一般的若一般的若存在存在15考研数学D2考研基础班一般的若一般的若存在存在一般的若一般的若存在存在16考研数学D2考研基础班例例2.设设，讨论，讨论 在在 处的可导性，处的可导性，并求并求解解: 不存在不存在不连续，从而不可导不连续，从而不可导.但是但是一般的若一般的若存在存在17考研数学D2考研基础班例例3.若若且且存在存在 , 求求解解: 原式原式 =且且联想到凑导数的定义式联想到凑导数的定义式18考研数学D2考研基础班例例4.设设在在处连续处连续,且且求求解解:处可导，即处可导，即处右可导，即处右可导，即题型题型2：已知极限求导数：已知极限求导数19考研数学D2考研基础班在在 处可导的一个充分条件是（处可导的一个充分条件是（ ））练习练习 设设在在的某个邻域内有定义，则的某个邻域内有定义，则处可导处可导20考研数学D2考研基础班题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数1）求分段函数在分界点处的导数时；2）不符合求导法则的条件时3）表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的 用求导法则处的导数处的导数. .例例5.求求处的导数处的导数.解解:注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就不一定可导不可导就不一定可导.注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就一定不可导不可导就一定不可导.21考研数学D2考研基础班例例6.解解: 分析分析:不能用公式求导不能用公式求导.求左右极限求左右极限22考研数学D2考研基础班设设 连续，且连续，且 ，， 求求 .可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求例例7.解解:注意：注意：求导法则的成立是有条件的求导法则的成立是有条件的.23考研数学D2考研基础班设设解解:因为因为又又例例8.所以所以 在在处连续处连续. 即即在在处可导处可导 .处的连续性及可导性处的连续性及可导性. 注：注： 判断可导性的方法判断可导性的方法不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.24考研数学D2考研基础班例例9. 设设求使求使存在的最高存在的最高分析分析: 但是但是不存在不存在 .2又又阶数阶数25考研数学D2考研基础班注意：注意：26考研数学D2考研基础班故故 分段函数分界点处的导数必须用导数的定义求；分段函数分界点处的导数必须用导数的定义求；非分界点处的导数用公式与法则求导非分界点处的导数用公式与法则求导.27考研数学D2考研基础班解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.方法方法2 利用求导公式利用求导公式.例例例例10101010 28考研数学D2考研基础班例例11 证明：证明：处可导且为偶函数处可导且为偶函数证明：证明：定义法定义法公式法公式法即即题型题型4 4：利用导数的定义证明导函数的性质：利用导数的定义证明导函数的性质29考研数学D2考研基础班思考：思考：[05数一、二，数一、二，4分分] 设设F(x)的导数是的导数是f(x) ，，表示表示“M的充分必要条件是的充分必要条件是N”，则必有，则必有 (B) F(x)是奇函数是奇函数f(x)是偶函数是偶函数.(A) F(x)是偶函数是偶函数f(x)是奇函数是奇函数.f(x)是周期函数是周期函数. (C) F(x)是周期函数是周期函数f(x)是单调函数是单调函数.(D) F(x)是单调函数是单调函数[ A ]30考研数学D2考研基础班解解题型题型5：求各类函数的导数及微分：求各类函数的导数及微分例例12 求下列函数的导数求下列函数的导数关键关键: 搞清函数的运算结构搞清函数的运算结构 ，，对复合函数结构对复合函数结构 应由外向内逐层求导应由外向内逐层求导.求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则. .其中其中可微可微 ,31考研数学D2考研基础班其中其中可微可微 ,另解另解:解解:32考研数学D2考研基础班解：解：幂指函数幂指函数幂指函数幂指函数 的求导方法有两种：的求导方法有两种：的求导方法有两种：的求导方法有两种：方法方法方法方法1 1：：：：对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法然后用然后用隐函数求导法隐函数求导法隐函数求导法隐函数求导法求导求导.方法方法方法方法2 2：：：：利用复合函数求导法利用复合函数求导法利用复合函数求导法利用复合函数求导法变形为变形为然后用然后用复合函数求导法复合函数求导法复合函数求导法复合函数求导法求导求导.33考研数学D2考研基础班例例13.解：解：求导小技巧：先变形再求导求导小技巧：先变形再求导34考研数学D2考研基础班注：注：由参数方程所确定的导数的求导法：由参数方程所确定的导数的求导法：若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数可导可导, 且且关系关系,法法1：：由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得即即法法2：：由微商及微分的计算求导由微商及微分的计算求导?已知已知注意注意 :对谁求导对谁求导?35考研数学D2考研基础班单值可导隐函数单值可导隐函数并求并求公式法：公式法：在点在点(0,0)某邻域某邻域可确定一个可确定一个两边微分两边微分微分法：微分法：36考研数学D2考研基础班两边对两边对 x 求导求导直接求导法：直接求导法：令令 x = 0 , 注意此时注意此时两边对两边对 x 求导求导小技巧小技巧单值可导隐函数单值可导隐函数并求并求在点在点(0,0)某邻域某邻域可确定一个可确定一个提示：提示： 两边取对数两边取对数37考研数学D2考研基础班例例15. 设设试确定常数试确定常数 a , b 使使 f (x) 处处可导处处可导,并求并求解：解： 得可导必连续得可导必连续即即38考研数学D2考研基础班是否为连续函数是否为连续函数 ?如何求如何求判别判别:即练习：练习： 注意：注意：分段函数求导时，分界点处的导数用左右导分段函数求导时，分界点处的导数用左右导数的定义求数的定义求.其他点处的导数用公式和法则求其他点处的导数用公式和法则求.39考研数学D2考研基础班例例16 设设解解 例例17 设设解解注意区分符号：注意区分符号：40考研数学D2考研基础班题型题型6：导数的应用：导数的应用例例18.解：解：对方程分别对对方程分别对t求导得求导得所求切线方程为所求切线方程为41考研数学D2考研基础班例例19.解：解： 方程两边分别对方程两边分别对x求导得求导得则则42考研数学D2考研基础班例例20.(书上的习题书上的习题)解：解：注意：注意：要写清楚对谁求导，不写的话就是对自变量要写清楚对谁求导，不写的话就是对自变量x求导求导.谢谢 谢谢 大大 家！再家！再见见则曲线则曲线y=f(x)在点在点(1,1)处的切线方程是处的切线方程是 .[03数二数二] 设函数设函数y=f(x)由方程由方程所确定，所确定，43考研数学D2考研基础班。