3-4教学案：第一章 第2节 单摆.doc

专注理科思维训练 公众号：大悟理第2节单__摆1.单摆的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力，只有在摆角较小时，才满足F＝－kx，才可看做简谐运动2．单摆在平衡位置时速度最大，回复力为零，但摆球所受合外力不为零3．单摆的周期公式T＝2π ，其大小与摆球质量及振幅无关单摆的简谐运动[自读教材抓基础]1．单摆2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x或F＝－kx3．单摆做简谐运动的条件在偏角较小的情况下，单摆做简谐运动[跟随名师解疑难]1．单摆的运动特点(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都受向心力2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向都受回复力2．单摆的动力学特征(1)任意位置：图1－2－1如图1－2－1所示，G2＝Gcos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符。

3)单摆做简谐运动的推证：在θ很小时，sin θ≈tan θ＝，G1＝Gsin θ＝x，G1的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－x＝－kx因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动摆角一般不超过5)[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　　)A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B　单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力作用，故A错重力垂直于摆线的分力提供回复力当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，拉力等于重力沿摆线的分力大小，则拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错，B对单摆做简谐运动的周期[自读教材抓基础]1．影响单摆周期的因素实验表明，单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越长2．单摆的周期公式(1)探究单摆周期与摆长的关系：①制作单摆：②测量：用停表测出单摆做30～50次全振动的时间，计算周期T；用游标卡尺测量摆球直径，用米尺测出摆线长度，求出单摆摆长l；改变摆长，得到多组数据。

③数据处理：猜测T与l的关系可能，作出T2－l图像，确定关系2)周期公式：荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，他确定为：T＝2π3)影响单摆周期的相关因素：由单摆的周期公式可知，单摆做简谐运动(摆角小于5)的周期只与摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球的质量无关，故又叫做单摆的固有周期[跟随名师解疑难]1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径2)等效摆长：图1－2－2(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin α，这就是等效摆长其周期T＝2π ，图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效图1－2－22．重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。

如图1－2－3所示，此场景中的等效重力加速度g′＝gsin θ图1－2－3球静止在O时，FT＝mgsin θ，等效加速度g′＝＝gsin θ[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v1、v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则(　　)A．f1>f2，A1＝A2　　　 　B．f1A2 D．f1＝f2，A1

答案：B[探规寻律](1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零　[跟踪演练]对于单摆的运动，以下说法中正确的是(　　)A．单摆运动时，摆球受到的向心力大小处处相等B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零D．摆球经过平衡位置时所受加速度为零解析：选C　单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大有向心加速度，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零，故只有C项正确对单摆周期公式的理解[典题例析]2．有一单摆，其摆长l＝1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆振动30 次用的时间t＝60.8 s，试求：(1)当地的重力加速度是多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？[思路点拨](1)如何由周期公式求重力加速度。

提示：由T＝2π可得g＝(2)秒摆的周期为多少？要改变单摆的周期，可以采取什么措施？提示：秒摆的周期为2 s，由于同一地点的重力加速度不变，要改变单摆的周期可以改变单摆的摆长解析：(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2π，由此可知g＝，只要求出T值代入即可因为T＝＝ s＝2.027 s所以g＝＝ m/s2＝9.79 m/s22)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：＝，故有：l0＝＝ m＝0.993 m所以其摆长要缩短Δl＝l－l0＝1.02 m－0.993 m＝0.027 m答案：(1)9.79 m/s2　(2)缩短　0.027 m[探规寻律]有关单摆周期问题的处理方法：(1)明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件2)在运用T＝2π时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间3)改变单摆振动周期的途径是：①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)　[跟踪演练]已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两摆长la与lb分别为(　　)A．la＝2.5 m，lb＝0.9 m　 　B．la＝0.9 m，lb＝2.5 mC．la＝2.4 m，lb＝4.0 m D．la＝4.0 m，lb＝2.4 m解析：选B　设两个单摆的周期分别为Ta和Tb，由题意知10Ta＝6Tb，即Ta∶Tb＝3∶5。

根据单摆周期公式T＝2π，得l＝T2，由此可得la∶lb＝Ta2∶Tb2＝9∶25，且lb－la＝1.6 m，解得la＝0.9 m，lb＝2.5 m[课堂双基落实]1．单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)A．摆线质量不计B．摆线长度不伸缩C．摆球的直径比摆线长度短得多D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动解析：选ABC　单摆的理想化条件是摆线质量很小，伸缩性很小，摆球密度较大，直径比摆线短得多，摆动时摆角较小，故A、B、C正确，D错误2．关于单摆，下列说法中正确的是(　　)A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B．摆球受到的回复力是它的合力C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比解析：选A　单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，A对，B错；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)，C错；另外摆球所受的合力不是回复力，所以与位移大小不成正比，D错3.如图1－2－4所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10 cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，那么(　　) 图1－2－4A．v1＜v2，t1＜t2　　 　B．v1＞v2，t1＝t2C．v1＝v2，t1＝t2 D．以上三种情况都有可能解析：选B　因为AO弧长远小于半径，所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度单摆的摆动，即做简谐运动，等效摆长为2 m，单摆的周期与振幅无关，故t1＝t2，因mgh＝mv2，所以v＝，故v1＞v2。

4．有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片如图1－2－5所示(悬点和小钉未被摄入)，P为摆动中的最低点已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为(　　)图1－2－5A. B.C. D．无法确定解析：选C　每相邻两次闪光的时间间隔相等，从M→P有4个频闪时间间隔，从P→N有2个频闪时间间隔，它们都是四分之一周期，因此，右侧摆动的周期是左。