第一章 专题突破一.docx

专题突破一　三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘．隐含条件1.两边之和大于第三边例1　已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．解　设角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理得cos C＝＝<0.∴k2－4k－12<0，解得－2k＋4，∴k>2，综上所述，k的取值范围为2C，则C为锐角，故C＝.3．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B等于(　　)A．± B. C．－ D.答案　A解析　由正弦定理得sin B＝，如图所示．过C作CD⊥AH，D为垂足，在Rt△ACD中，得CD＝AC·sin 30°＝20×sin 30°＝10，∵10<15<20，∴以C为圆心，以15为半经作弧，该弧与AH交于两点，即B有两解．∴cos B＝±＝± ＝±.4．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是(　　)A．(2，＋∞) B．(－∞，0) C. D.答案　D解析　由正弦定理得a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，∵即∴k>.5．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为(　　)A. B. C. D.答案　B解析　∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin α＝，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin 120°＝.6．△ABC中，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lg且B∈，则△ABC的形状是(　　)A．等边三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形答案　C解析　∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lg ，∴＝sin B，sin B＝.∵B∈，∴B＝.∴＝＝，∴sin C＝sin A＝sin＝，∴cos C＝0，∵C∈(0，π)，C＝.∴A＝π－B－C＝.∴△ABC是等腰直角三角形．故选C.7．(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C等于(　　)A. B. C. D.答案　B解析　因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sin A＝sin C.又B＝π－(A＋C)，故sin B＋sin A(sin C－cos C)＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sinAcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝(sin A＋cos A)sin C＝0.又C为△ABC的内角，故sin C≠0，则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.从而sin C＝sin A＝×＝.由A＝知，C为锐角，故C＝.故选B.二、填空题8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝ .答案　1解析　因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或.又因为C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又因为a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 。