特征方程法求数列地通项公式1.doc

word特征方程法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.满足......① 其中.定义1:方程为①的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为.定理1:假如且,如此.证明: 证毕定理2: 假如且,如此.证明: 证毕例〔09·某某·理·22〕各项均为正数的数列,,且对满足的正数都有.(1)当时,求通项;(2)略.解:由得将代入上式化简得考虑特征方程得特征根所以所以数列是以为首项,公比为的等比数列故 即例 数列满足,求通项.解: 考虑特征方程得特征根所以数列是以为首项,公差为1的等差数列故 即例 数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，例数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，2.数列满足② 其中为常数,且.定义2:方程为②的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为.定理3:假如,如此,其中常数,且满足.定理4: 假如,如此,其中常数,且满足.设，如此,令 〔*〕（1） 假如方程组〔*〕有两组不同的解,如此,,由等比数列性质可得,,由上两式消去可得.（2） 假如方程组〔*〕有两组相等的解，易证此时，如此，,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以．例数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例:数列满足,求通项.解: 考虑特征方程得特征根 如此 其中常见递推数列通项的求解方法 高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。

是一类考查思维能力的好题要求考生进展严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法类型一：〔可以求和〕累加法〔1〕假如f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，如此=.〔2〕假如f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 得：时，，，所以各式相加得 即：.为了书写方便，也可用横式来写：时，，=.例、在数列中，=1，当时，有，求数列的通项公式解析： 上述个等式相加可得：评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加例 . 〔2003某某文〕 数列｛an｝满足,证明证明：由得： =.例.数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：例.数列满足，，求此数列的通项公式. 答案：评注：,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①假如f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②假如f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③假如f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④假如f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

类型一专项练习题：1、，〔〕，求 2、数列，=2，=+3+2，求 3、数列满足，求数列的通项公式4、中，，求 5、,,求数列通项公式. 6、 数列满足求通项公式？〔〕7、假如数列的递推公式为，如此求这个数列的通项公式8、 数列满足，求数列的通项公式9、数列满足，，求 10、数列中，，〔是常数，〕，且成公比不为的等比数列．〔I〕求的值； c=2〔II〕求的通项公式． 类型二： 〔可以求积〕累积法〔1〕当f(n)为常数，即：〔其中q是不为0的常数〕，此时数列为等比数列，=.〔2〕当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).例.设是首项为1的正项数列，且〔=1，2， 3，…〕，如此它的通项公式是=________.解：等式可化为：()(n+1), 即时，==.此题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解〔一般情况时用求根公式〕得到与的更为明显的关系式，从而求出.例.,求数列{an}的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.评注：此题解题的关键是把原来的递推关系式转化为假如令,如此问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.例在数列中，有，()求数列的通项公式。

解析：又也满足上式；类型二专项练习题：1、 ，()，求 2、数列满足，，求 3、中，，且，求数列的通项公式.4、，，求 5、,,求数列通项公式. 6、数列满足，求通项公式？ 〔〕 7、数列满足，求数列的通项公式8、数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，如此{an}的通项9、设{an}是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a- na+an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式. 10、数列的前n项和为，且，＝，求数列的通项公式. 类型三：〔1〕假如〔d为常数〕，如此数列{}为“等和数列〞，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;〔2〕假如f(n)为n的函数〔非常数〕时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.解法2：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列.评注：结果要复原成n的表达式.例.〔2005某某卷〕数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.解：方法一：因为以下同例1，略答案 类型四型〔1〕假如(p为常数)，如此数列{}为“等积数列〞，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;〔2〕假如f(n)为n的函数〔非常数〕时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1. 数列,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略.类型五： 待定常数法可将其转化为，其中，如此数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。

〔1〕假如c=1时，数列{}为等差数列;〔2〕假如d=0时，数列{}为等比数列;〔3〕假如时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,得,与题设比拟系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比拟复杂.例 在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式解析：设，如此，于是是以为首项，以3为公比的等比数列例．数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列解：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 方法二：迭代法由 递推式直接迭代得===.类型五专项练习题：1、 在数列中， ，，求数列的通项公式2、假如数列的递推公式为，如此求这个数列的通项公式3、数列{a}中，a=1，a= a+ 1求通项a． 4、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式. 5、在数列{an}中，求. 6、数列满足求数列的通项公式.7、设二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用表示a； 〔2〕求证：数列是等比数列；〔3〕当时，求数列的通项公式 8、在数列中，为其前项和，假如，，并且，试判断是不是等比数列？ 是类型六：(1)假如(其中k,b是常数，且)方法：相减法例1. 在数列中，求通项.解：，①时，，两式相减得 .令,如此利用知即 ②再由累加法可得.亦可联立 ①②解出.例2. 在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比拟系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.(2)假如(其中q是常数，且n0,1)①假如p=1时，即：，累加即可.②假如时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.即： ,令，如此,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 即： ,令,如此可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：设.通过比拟系数，求出，转化为等比数列求通项.例1.〔2003某某理〕设为常数，且．证明对任意≥1，；证法1：两边同除以〔-2〕,得令,如此===.证法2：由得 .设，如此b. 即：,所以是以为首项，为公比的等比数列.如此=,即：,故 .评注：此题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法3：用待定系数法设, 即:,比拟系数得：,所以 所以,所以数列是公比为－2，首项为的等比数列. 即 .例 设在数列中， ，求数列的通项公式。

解析：设 展开后比拟得这时是以3为首项，以为公比的等比数列即，例 在数列中， ，求数列的通项公式解析：，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列 即例 在数列中， ，求数列的通项公式解析：在中，先取掉，得令，得，即；然后再加上得 ；两边同除以，得是以为首项，1为公差的等差数列 评注：假如中含有常数，如此先待定常数然后加上n的其它式子，再构造或待定例 数列满足，求数列的通项公式解析：在中取掉待定令，如此， ；再加上得，，整理得：，令，如此令；即；数列是以为首项，为公比的等比数列即；整理得类型5专项练习题：1、设数列的前n项和，求数列的通项公式 2、数列中，点在直线上，其中（1） 令求证：数列是等比数列；（2） 求数列的通项 ； 。