2020考研数学二真题及答案.doc

》》》》》》考试资料——2023年整理《《《《《《2020考研数学二真题及答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1） 当x®0+时，下列无穷小量中最高阶是（ ）00（A）òx(et2-1)dt （B）òxln(1+t2)dt15 / 23ò（C） sinxsint2dt0【答案】（D）1-cos xò（D） 0sin t 2 dt【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的A） (òx(et2-1)dt)¢2=ex-1 ~x200（B） (òxln(1+t2)dt)¢=ln(1+x2 ):x（C） （C）(òsinxsint2dt)¢=sin(sin2x):x2（D） (0sin t 2ò1-cos x0dt)¢=sin(1- cos x)2sin x :1x32经比较，选（D）（2） 函数 f(x) =1ex-1 ln 1+ x(ex -1)(x - 2)的第二类间断点的个数为 （ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有 x =-1, 0,1, 2 ，由此ex-1 ln 1+ x1ex-1 ln 1+ xlim f (x) = lim-1=-e2lim ln 1+x =-¥；x®-1x®-1 (ex -1)(x-2) 3(e-1 -1) x®-1 1lim f (x) = lim=-e-1limln(1+x) =-1；x®0x®0 (ex -1)(x-2) 2x®0 x 2eex-1 ln 1+ x1lim f (x) = lim=ln 2 1 lim ex-1 = 0;x®1-ex-1 ln 1+ x1x®1-(ex -1)(x-2) 1-ex®1-；lim=ln 2 1 lim ex-1 =-¥;x®1+(ex -1)(x-2) 1-ex®1+12x®2ex-1 ln1+x eln3 1x®2x®2 (exlim f (x) = lim-1)(x - 2) =(e -1) lim x - 2 =¥故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。

ò1 arcsin（3） （3）x dx=（ ）0p2（A）4x (1-x)p2（B）8p（C）4p（D）8【答案】（A）x【解析】令= sin t ，则 x = sin2 t ， dx = 2 sin t cos tdtppp2ò1arcsinx dx =ò2t 2sintcostdt=ò22tdt=t22 =p0 x(1-x)0 sin t cos t0 0 4（4） f (x)=x2 ln (1 -x), n ³ 3 时， f (n)(0)=（A）-n! n -2（B）n! n -2(n - 2)!-（C） （D）n(n-2)!n【答案】(A)¥xn 2¥xn+2¥xnn【解析】由泰勒展开式， ln(1-x) =-ån=1，则 xln(1-x) =-ånn=1=-å，n - 2n=3故 f (n) (0)=n! .n - 2ìxy, xy ¹ 0ï（5）关于函数 f(x, y)=íx,ïîy,y =0x =0给出以下结论¶f¶x¶f¶x¶y① (0,0)= 1②(0,0)=1③lim(x,y)®(0,0)f ( x, y) = 0④lim lim f ( x, y) = 0y®0 x®0正确的个数是（A）4 （B）3 （C）2 （D）1【答案】（B）¶ff(x,0)-f(0,0)x - 0【解析】¶x(0,0)= limx®0¶fx - 0¶f¶x (0, y )-1- ¶f= limx®0 x= 1，①正确¶f =lim¶x(0,y)¶x (0, 0)=lim ,¶x¶y(0,0)y®0y - 0y®0 y而¶f=limf(x,y)-f(0,y)=limxy-y=limx-1×y不存在，所以②错误；¶x(0,y)x®0x - 0x®0 xx®0 xxy - 0 =xy , x - 0 =x , y - 0 =y, 从而(x, y)®(0, 0)时，lim(x,y)®(0,0)f ( x, y) = 0 ，③正确。

ílim f (x, y )=ì0, xy ¹ 0或y = 0 , 从而limlim f ( x, y) = 0 ，④正确x®0îy ,x = 0y®0 x®0（6）设函数 f (x) 在区间[-2, 2] 上可导，且 f '(x) >f (x) > 0 .则(A)f (-2) > 1f (-1)(B)f (0) >ef (-1)(C)f (1)f (-1)0，从而F(x)=单调递增.故F(0)>F(-1)，也即ex e0>e-1 ，又有 f (x) > 0 ，从而f(0)f(-1)>e .故选(B).（7） 设4阶矩阵A=(aij)不可逆，a12的代数余子式A12¹0,a1,a2,a3,a4为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则A*x=0的通解为（ ）（A）x=k1a1 +k2a2+k3a3，其中k1, k2, k3为任意常数（B）x=k1a1 +k2a2+k3a4，其中k1, k2, k3为任意常数（C）x=k1a1 +k2a3+k3a4，其中k1, k2, k3为任意常数（D）x=k1a2+k2a3+k3a4，其中k1, k2, k3为任意常数【答案】（C）【解析】由于A不可逆， 故r(A)<4， A=0.由 A12¹0Þr(A*)³1，r(A)³4-1=3，则r (A)= 3 ， r (A* )=1，故 A* x = 0 的基础解系中有4 -1 =3个无关解向量。

此外， A* A =A E = 0 ，则 A 的列向量为 A* x = 0 的解则由 A ¹ 0 ，可知a,a,a线性12 1 3 4无关（向量组无关，则其延伸组无关），故 A* x = 0 的通解为 x =k a+k a+k a，即选1 1 2 3 34项（C）正确8） 设 A为 3阶矩阵，a1,a2为 A的属于特征值 1的线性无关的特征向量，a3为 A的属æ1 0 0ö于特征值-1的特征向量，则P-1AP=ç0 -1 0÷的可逆矩阵P为（ ）（A）(a1+a3,a2,-a3)（C）(a1+a3,-a3,a2)ç÷è øç0 0 1÷（B）(a1+a2,a2,-a3)（D）(a1+a2,-a3,a2)【答案】（D）【解析】设 P = (b, bæ1 0 0ö,b)，若P-1AP=ç0 -1 0÷，则b,b应为A的属于特征值11 2 3ç÷1 3è øç0 0 1÷的线性无关的特征向量， b2 应为A 的属于特征值-1的线性无关的特征向量这里根据题设，a1,a2 为 A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量，则a1 +a2 也为A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量又因a3 为 A 的属于-1的特征向量，则-a3 也为 A 的属于特征值-1的特征向量。

且æ1 0 0öæ1 0 0ö(a+a, -a,a) =(a,a,a)ç1 0 1÷,由于ç1 0 1÷可逆，1 2 3 2 1 2 3ç÷ç÷è0 -1 0øè0 -1 0ø故r(a1 +a2 , -a3 ,a2 ) =r(a1 ,a2 ,a3 ) = 3,即a1 +a2 , -a3 ,a2线性无关æ1 0 0ö综上，若 P = (b, b, b) = (a+a, -a,a)，则P-1AP=ç0 -1 0÷.1 2 3 1 2 3 2因此选项（D）正确ç÷è øç0 0 1÷二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.ïìx=t2 +1) 2d 2 yî（9） 设ïíy=ln(t+，则 =t2+1 d x t =12【答案】-【解析】dy==×=1dydtdxdt1+tt2 +1t + t2 +1t 2 +1dx t td æ1 öt2 +1t2 +1d2y dy çt÷dt 1==èø×=-×=-d 2 xdx dt dx t2 t t3d 2 y d 2 x2=-(10)t = 11 1ò0dyòyx+1dx=32(【答案】 229- 1)【解析】交换积分次序，原式1 x20 0 0=òdxòx3+1dy=ò1x2x3 +1dx23=1ò1x3+1d(x3+1)=1×2(x3+1)21=2(2-1)3 0 3 3 0 9(11) 设z=arctanéëxy+sin(x+y)ùû，则dz (0,p)=【答案】(p-1)dx -dy¶z y+cos(x+y)¶z x+cos(x+y)ë û ë û【解析】¶x=1+éxy+sin(x+y)ù2,¶y=1+éxy+sin(x+y)ù2¶z ¶z将(0,p)带入得¶x =p-1, ¶y =-1因此dz (0,p)=(p-1)dx -dy(12) 斜边长为2a的等腰直角三角形平板，铅直的沉没在。