第六章电路分析基础 全套课件180p.ppt

第二篇第二篇 动态电路的时域分析动态电路的时域分析第五章第五章 电容元件与电感元件电容元件与电感元件第六章第六章 一阶电路一阶电路第七章第七章 二阶电路二阶电路第六章第六章 一阶电路一阶电路§§6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用√√§§6.2 6.2 零状态响应零状态响应√√§§6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应§§6.4 6.4 零输入响应零输入响应§§6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理§§6.6 6.6 三要素法三要素法§§6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态§§6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支路无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支路电流和电压仍然满足电流和电压仍然满足KCLKCL和和KVLKVL，与电阻电路的差别，与电阻电路的差别仅仅是仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是微分与积动态元件的电流与电压约束关系是微分与积分关系分关系( (见第五章见第五章) )。

因此，根据因此，根据KCLKCL、、KVLKVL和元件的和元件的VCRVCR所建立的所建立的动动态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分分—积分方程积分方程 如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那么，动态电路方程是么，动态电路方程是线性常系数微分方程线性常系数微分方程  如果电路中只有一个动态元件，如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称相应的电路称为为一阶电路一阶电路，，而而所得到的方程则是一阶微分方程所得到的方程则是一阶微分方程 一般而言，如果电路中含有一般而言，如果电路中含有n n个独立的动态元件，个独立的动态元件，那么，描述该电路的就是那么，描述该电路的就是n n阶微分方程阶微分方程，， 相应的电相应的电路也称为路也称为n n阶电路阶电路 一阶电路的定义：一阶电路的定义：分解方法在这里的运用：分解方法在这里的运用： （（1）将一阶电路分为电阻网络）将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件和动态元件N2两两部分 （（2）将）将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得简单一阶电路。

简单一阶电路 （（3）求解简单一阶电路，得到）求解简单一阶电路，得到 uc(t) 或或 iL(t) （（4）回到原电路，将电容用一电压源（其值为）回到原电路，将电容用一电压源（其值为 uc(t)）置换，或将电感用一电流源（其值为）置换，或将电感用一电流源（其值为 iL (t)）置）置换，再求出电路中其余变量换，再求出电路中其余变量根据图根据图(b)(b)，由，由KVLKVL可得：可得：而由元件的而由元件的VCRVCR可得：可得：第二式带入第一式并整理可得：第二式带入第一式并整理可得：类似地，根据图类似地，根据图(c)(c)，，由由KCLKCL和元件的和元件的VCRVCR可得：可得： 如果给定初始条件如果给定初始条件u uC C(t(t0 0) )以及以及t≥tt≥t0 0时的时的u uOCOC(t)(t)或或i iSCSC(t)(t)，便可由上述两式解得，便可由上述两式解得t≥tt≥t0 0时的时的u uC C(t)(t)而对含电感而对含电感L L的一阶电路，同样可以得到：的一阶电路，同样可以得到： 如果给定初始条件如果给定初始条件i iL L(t(t0 0) )以及以及t≥tt≥t0 0时的时的i iSCSC(t)(t)或或u uOCOC(t)(t)，同样可解得，同样可解得t≥tt≥t0 0时的时的i iL L(t)(t)。

因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最关键的步骤是先求得关键的步骤是先求得u uC C(t)(t)或或i iL L(t)(t)第六章第六章 一阶电路一阶电路§§6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用§§6.2 6.2 零状态响应零状态响应§§6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应§§6.4 6.4 零输入响应零输入响应§§6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理§§6.6 6.6 三要素法三要素法§§6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态§§6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 再看如图所示电路再看如图所示电路 如果电容具有初始电压如果电容具有初始电压uC(t0)，则在，则在t≥t0时，这时，这种电路相当于有两个独立电压源因此，根据叠种电路相当于有两个独立电压源因此，根据叠加原理，该电路中任一电压、电流加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电当然也包括电容的电压容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其是两个电源单独作用时结果的叠加，其分解电路如下图所示。

分解电路如下图所示 图中，由独立源在图中，由独立源在t≥t0时时产生的响应为产生的响应为uC’(t)，此，此时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入引起，一般称为引起，一般称为零状态响应零状态响应 所谓零状态响应是指电路原始状态为零，仅仅由激所谓零状态响应是指电路原始状态为零，仅仅由激励源在电路中产生的响应，励源在电路中产生的响应， 而仅仅是由电容的初始状态而仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响应所引起的响应uC’’(t)称为称为零输入响应零输入响应 两种响应之和就是两种响应之和就是总响应总响应或称之为或称之为全响应全响应，，它是由输入和非零初始状态共同作用的响应它是由输入和非零初始状态共同作用的响应 本节先讨论由恒定电源输入产生的一阶电路的本节先讨论由恒定电源输入产生的一阶电路的零状态响应零状态响应 仍以上述仍以上述RC串联电路为例，设串联电路为例，设t0=0，，t≥0时输时输入阶跃波，其值为入阶跃波，其值为US，它相当于在，它相当于在t=0时通过开关时通过开关使使RC电路与直流电压源电路与直流电压源US接通，如图所示。

接通，如图所示 根据第一节根据第一节RC电路的公式并结合上图电路可得电路的公式并结合上图电路可得t≥0时的电路方程为：时的电路方程为：初始条件：初始条件：uC(0)=0解此方程即可得到解此方程即可得到uC(t) 有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，这里再简单回顾一下这里再简单回顾一下一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解一阶齐次方程的求解一阶齐次方程的求解 这里，这里，x(t) 为待求变量，为待求变量，A 及及X0 均为常数均为常数齐次方程和初始条件齐次方程和初始条件假设假设则有则有将（将（3 3）和（）和（4 4）代入（）代入（1 1）式，可得）式，可得（（6 6）式称为微分方程的）式称为微分方程的特征方程特征方程，，其根称为微分方程的其根称为微分方程的特征根特征根或或固有频率固有频率因而可求得：因而可求得：先求通解（满足（先求通解（满足（1 1）式且含有一个待定常数的解式且含有一个待定常数的解再确定待定常数再确定待定常数K K将初始条件（将初始条件（2 2）式代入通解（）式代入通解（3 3）式，可得：）式，可得：即即例：例：求解方程求解方程解：解： 特征方程特征方程特征根特征根通解通解代入初始条件，得代入初始条件，得原问题的解为原问题的解为其中其中 x(t) 为待求变量，为待求变量，f(t) 为输入函数，为输入函数，A、、B 及及X0 均为常数。

均为常数非齐次方程和初始条件非齐次方程和初始条件解的结构解的结构: : （（2 2－－1 1）式的通解由两部分组成）式的通解由两部分组成其中其中 xh(t) 为（为（2－－1）式所对应齐次方程的通解，）式所对应齐次方程的通解，xp(t) 为（为（2－－1）式的一个特解式的一个特解一阶非齐次方程的求解一阶非齐次方程的求解先求先求 x xh h( (t t) ) 前已求得前已求得再求再求 x xp p( (t t) ) 特解特解 x xp p( (t t) ) 的的 形式与输入函数形式与输入函数 f f( (t t) ) 的形式有关：的形式有关：确定待定常数确定待定常数K K 求得求得 x xh h( (t t) ) 和和 x xp p( (t t) ) 后，将初始条件代入通解式，可后，将初始条件代入通解式，可确定待定常数确定待定常数K K，从而得到原问题的解从而得到原问题的解例：例：求解方程求解方程解：解：特征方程特征方程特征根特征根设设求得求得通解通解代入初始条件，得代入初始条件，得原问题的解为原问题的解为根据以上分析，对于方程：根据以上分析，对于方程：非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程其解的形式：其解的形式：它与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。

它与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解其变化规律由电路参数和结构决定其变化规律由电路参数和结构决定的通解的通解通解通解特解特解的特解的特解全解全解uC (0)=A+US= 0 A= -US 因此：因此：由初始条件由初始条件 uC (0)=0 确定积分常数确定积分常数 A从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：-USuchucpUSti0tuC0①①由所得结果可见，电压、电流是随时间按同一由所得结果可见，电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连连续续函函数数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）说明+②②指数函数指数函数 ，随时间，随时间t t安指数规律衰减，其衰减快安指数规律衰减，其衰减快慢与慢与RC有关；令有关；令  =RC , ,它称为一阶电路的时间常数它称为一阶电路的时间常数，因为：，因为： 时间常数时间常数  是一阶电路非常重要的参数，因为它是一阶电路非常重要的参数，因为它的大小反映了电路暂态或过渡过程时间的长短。

的大小反映了电路暂态或过渡过程时间的长短  大大→→过渡过程时间长过渡过程时间长  小小→→过渡过程时间短过渡过程时间短   是电容电压衰减到原来电压是电容电压衰减到原来电压36.8%所需的所需的时间因此，工程上一般认为时间因此，工程上一般认为, 经过经过 (3 ~5)  , 电路的过渡过程基本结束电路的过渡过程基本结束U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0  2 3 5U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 由此可见： 同样，对于如图所示的同样，对于如图所示的RLRL电路，其电流的零状电路，其电流的零状态响应也可作类似分析态响应也可作类似分析应用应用KVL和电感的和电感的VCR可得：可得： (t >0)+–uLUsRiL+- -连续连续不连续不连续tiL0uLUSt0 以上讨论了在直流电源或阶跃波作用下电路以上讨论了在直流电源或阶跃波作用下电路在在t t≥0≥0时的零状态响应。

这时，电路内的物理过时的零状态响应这时，电路内的物理过程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增长程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增长的过程因此：的过程因此：•电容电压或电感电流都是从它的零值开始按指数电容电压或电感电流都是从它的零值开始按指数规律上升到达它的稳态值，时间常数规律上升到达它的稳态值，时间常数ττ分别为分别为RCRC或或L/RL/R•当电路到达稳态时，电容相当于开路，电感相当当电路到达稳态时，电容相当于开路，电感相当于短路，由此可确定电容电压或电感电流的稳态于短路，由此可确定电容电压或电感电流的稳态值•零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常数零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常数ττ所确定的，只要掌握了它们按指数规律增长的所确定的，只要掌握了它们按指数规律增长的特点，求解时可不必每次再求解微分方程，即可特点，求解时可不必每次再求解微分方程，即可直接写出直接写出u uC C(t)(t)、、i iL L(t(t）而掌握了）而掌握了u uC C(t)(t)和和i iL L(t(t））后，根据置换定理就可求出其它各支路电压和电后，根据置换定理就可求出其它各支路电压和电流。

流•此外，若激励增大此外，若激励增大m m倍，则零状态响应也相应增大倍，则零状态响应也相应增大m m倍，这称为零状态响应的比例性倍，这称为零状态响应的比例性•若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性因若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性因此，此，零状态响应是输入的线性函数零状态响应是输入的线性函数•电容的能量关系电容的能量关系电容储存的能量：电容储存的能量：电源提供的能量：电源提供的能量：电阻消耗的能量：电阻消耗的能量： 这表明，这表明，电源提供的能量一半消耗在电阻上，只电源提供的能量一半消耗在电阻上，只有一半转换成电场能量储存在电容中有一半转换成电场能量储存在电容中例例1：：t t=0=0时时, ,开关开关S S闭合，已知闭合，已知 u uC C(0)=0(0)=0，，求求：：(1)(1)电容电压和电容电压和电流电流,(2) ,(2) u uC C＝＝80V80V时的充电时间时的充电时间t t 解解:(1)(1)这是一个这是一个RCRC电路零状态电路零状态响应问题，则有：响应问题，则有：(2)(2)设经过设经过t1秒，秒，uC＝＝80V，则有：，则有：50010F+-100VS+－－uCi例例2：：t=0时时, ,开关开关S打开，求打开，求t >0后后iL、uL的变化规律。

的变化规律解解:这是这是RL电路零状态响应问题先化简成如图所示电路，有：电路零状态响应问题先化简成如图所示电路，有：t > 0iLS+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReq例例3：：t=0时开关开关k打开，求打开，求t >0后后iL、uL及电流源的电压及电流源的电压解解:这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有：电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有：iL+–uL2HUoReq+－t > 0iLK+–uL2H102A105–u作业：作业： P233: 6-1、、6-4 P234: 6-6、、6-8 第六章第六章 一阶电路一阶电路§§6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用§§6.2 6.2 零状态响应零状态响应§§6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应§§6.4 6.4 零输入响应零输入响应§§6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理§§6.6 6.6 三要素法三要素法§§6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态§§6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 对于前述电路，分析时是在输入端加一个阶对于前述电路，分析时是在输入端加一个阶跃波跃波U US S或或I IS S。

那么，它们能否用数学进行描述？为那么，它们能否用数学进行描述？为此，引入单位阶跃函数此，引入单位阶跃函数1 1、单位阶跃、单位阶跃(unit-step)(unit-step)函数：函数：2 2、延时、延时(delayed)(delayed)单位阶跃函数：单位阶跃函数：10t0 (t－－t0)10 (t)t t = 0 = 0 开关闭开关闭合合, ,i(t) = Is①①在电路中可模拟开关的动作在电路中可模拟开关的动作如：如：t = 0 时开关闭合时开关闭合引入单位阶跃函数的作用：引入单位阶跃函数的作用：SUSu(t)u(t)Isku(t)②②起始一个函数起始一个函数tf (t)0t0③③延迟一个函数延迟一个函数tf(t)0t0④④任意信号任意信号f f( (t t) )的截取：的截取：tf(t)0t0t1⑤⑤用单位阶跃函数表示分段常量信号用单位阶跃函数表示分段常量信号(t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0)1t1 f(t)02431t1 f(t)01t1 f(t)0243t1 02已知电压已知电压u(t)的波形如图所示，的波形如图所示，试画出下列电压的波形。

试画出下列电压的波形t1 u(t)0－22t1 0－11t 1 01 t10213 3、阶跃、阶跃(unit-step)(unit-step)信号：信号： 4 4、延时、延时(delayed)(delayed)阶跃信号：阶跃信号：0AA (t)AA (t)0AA (t+t0)-t01.1. 单单位位阶阶跃跃响响应应：：是是指指线线性性时时不不变变电电路路在在单单位位阶阶跃跃电电压压 (t)(t)作作用用下下的的零零状状态态响响应应，，我我们们用用s(t)s(t)或或g(t)g(t)表表示响应可以是电压，也可以是电流响应可以是电压，也可以是电流2. 2. 单位阶跃响应的线性时不变性：单位阶跃响应的线性时不变性： 若若  (t)→s(t) ，则，则 A (t)→As(t) A (t-t0)→As(t-t0) f(t)＝＝A (t)+B (t-t0)→y(t)＝＝As(t)+Bs(t-t0)阶跃响应阶跃响应时延不变性：时延不变性：若激励若激励f f(t)(t)延迟延迟t t0 0接入，其零状态接入，其零状态 响应也延迟响应也延迟t t0 0时间，且波形保持不变，如图所示。

时间，且波形保持不变，如图所示和和的区别的区别注意t01it0itiC0激励在激励在 t = t0 时加入，时加入，则响应也从则响应也从t =t0开始t- t0( t - t0 )- t不要写为：不要写为：iC (t -t0)C +–uCRt0注意3. 3. 阶跃响应的求法：阶跃响应的求法： 由由于于单单位位阶阶跃跃函函数数作作用用于于电电路路时时，，相相当当于于单单位位直直流流源源接接入入电电路路所所以以，，求求阶阶跃跃响响应应就就是是求求单单位位直直流流源源(1V(1V或或1A)1A)作作为为激激励励接接入入电电路路时时的的零状态响应零状态响应例例 下下图图(a)(a)所所示示电电路路，，若若以以电电流流i iL L为为输输出出，，求求其其阶阶跃响应跃响应s s( (t t) )解解 根根据据阶阶跃跃响响应应的的定定义义，，令令u us s= =εε( (t t) )，，它它相相当当于于1V1V电电压压源源在在t t=0=0时时接接入入电电路路，，如如图图( (b b) )所所示示，，而而且且电电路路的初始状态的初始状态i iL L(0(0+ +)=)=i iL L(0(0- -)=0)=0。

由由图图( (b b) )可可知知，，i iL L的的稳稳态态值值和和该该电电路路的的时时间间常常数数分别为：分别为： 4. 4. 分段常量信号响应的求法：分段常量信号响应的求法： 时时延延不不变变性性：：将将分分段段常常量量信信号号用用阶阶跃跃函函数数表表示示，，求求出出阶阶跃跃响响应应后后，，根根据据线线性性电电路路的的线线性性性性质质和和时时不不变变电电路路的的时时延延不不变变性性，，就就可可以以得得到到相相应应分分段常量信号激励作用下电路的零状态响应段常量信号激励作用下电路的零状态响应 f(t)＝＝A (t)+B (t-t0) → y(t)＝＝As(t)+Bs(t-t0)例例 图图( (a a) )所所示示电电路路，，其其激激励励i is s的的波波形形如如图图( (b b) )所所示示若以若以u uC C为输出，求其零状态响应为输出，求其零状态响应 解解 激励激励i is s可表示为可表示为 根据电路的线性和时延不变性，其对应的零状根据电路的线性和时延不变性，其对应的零状态响应为：态响应为：阶跃响应为：阶跃响应为： 零状态响应为：零状态响应为： 求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t）例例10k10kus+-ic100FuC(0-)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0-)=0等效等效应用叠加定理应用叠加定理5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F阶跃响应为：阶跃响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：5k+-ic100F5k+-ic100F分段表示为：分段表示为：分段表示为：分段表示为：t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.368 引用单位阶跃函数引用单位阶跃函数εε(t)(t)后，在电路分析中可后，在电路分析中可能会遇到对能会遇到对εε(t)(t)求导的问题。

求导的问题 εε(t)(t)是常量，当是常量，当t<0t<0时为零，时为零，t>0t>0时为时为1 1，因，因此，在此，在t<0t<0时或时或t>0t>0时，时，d dεε(t)/dt=0(t)/dt=0而在t=0t=0时，时，εε(t)(t)不连续，具有高度为不连续，具有高度为1 1的阶跃，其斜率为无的阶跃，其斜率为无界为此，把界为此，把εε(t)(t)的导数记为的导数记为δδ(t)(t)，称为单位，称为单位冲击函数冲击函数1. 1. 单位冲激函数单位冲激函数l 定义定义t(t)10单位脉冲函单位脉冲函数的极限数的极限 / 21/ tp(t)- / 2l 单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟t (t-t0)t00（1）l 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质①①冲激函数对时间的积分等于阶跃函数冲激函数对时间的积分等于阶跃函数②②冲激函数的冲激函数的‘取样取样性性’ 同理同理例例t(t)10f(t)f(0) f(t)在在 t0 处连续处连续f(0)(t)注意冲激响应冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应称为冲击响应。

生的零状态响应称为冲击响应冲激响应冲激响应零状态零状态R(t)3. 3. 单位阶跃响应和单位冲激响应的关系单位阶跃响应和单位冲激响应的关系单位阶跃响应单位阶跃响应单位冲激响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激单位冲激 (t)单位阶跃单位阶跃 (t)激励激励响应响应先求单位阶跃响应：先求单位阶跃响应：求求: :is (t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应uC(t)和和iC (t).例例解解:uC(0+)=0 uC()=R  = RC iC(0+)=1 iC()=0 再求单位冲激响应再求单位冲激响应, ,令：令：令令uC(0－)=0iCRiS(t)C+-uC0uCRt0iC1t0uCt0冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应iCt10作业：作业： P236: 6-13、、6-15 P234: 6-16、、6-17 第六章第六章 一阶电路一阶电路§§6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用§§6.2 6.2 零状态响应零状态响应§§6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应§§6.4 6.4 零输入响应零输入响应§§6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理§§6.6 6.6 三要素法三要素法§§6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态§§6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态•第二节讨论了零状态响应，即电容或电感的初始第二节讨论了零状态响应，即电容或电感的初始状态为零，电路的响应仅由输入引起。

状态为零，电路的响应仅由输入引起•实际中，电容或电感可能具有初始值，因此，电实际中，电容或电感可能具有初始值，因此，电路的响应除由激励引起的一部分外，还有一部分路的响应除由激励引起的一部分外，还有一部分是由电容或电感的初始值引起的是由电容或电感的初始值引起的•由初始值引起的响应部分的分析是把初始值看成由初始值引起的响应部分的分析是把初始值看成一个电压源或电流源（见上一章），然后按照前一个电压源或电流源（见上一章），然后按照前述同样的分析方法即可得到所需结果述同样的分析方法即可得到所需结果•从物理意义上看，零输入响应完全是依靠动态元从物理意义上看，零输入响应完全是依靠动态元件的初始储能进行的当电路中存在耗能元件件的初始储能进行的当电路中存在耗能元件R时，有限的初始储能最终将被消耗殆尽，零输入时，有限的初始储能最终将被消耗殆尽，零输入响应终将为零这是一切含有耗能元件的动态电响应终将为零这是一切含有耗能元件的动态电路中零输入响应的特点路中零输入响应的特点解得：解得： 式中：式中： ＝＝RCRC 为电路的时间常数为电路的时间常数，具有时间的量纲。

具有时间的量纲R R是从电容是从电容C C两端看进去的等效电阻两端看进去的等效电阻C+－－Ruc(t)uc (0＋＋ )＝＝U0i (t)+uR(t)－－可求得特征根：可求得特征根：通解：通解：代入初始条件，得代入初始条件，得 （（1 1））u uc c(t)(t)只与电容电压初始值只与电容电压初始值u uc c(0(0+ +) )及电路的特性有及电路的特性有关（即与关（即与ττ有关，它有关，它反映了电路的特性反映了电路的特性）；　）；　　（　（2 2）响应与初始状态成线性，称为零输入线性；）响应与初始状态成线性，称为零输入线性； （（3 3）时间常数决定了响应衰减的快慢时间常数决定了响应衰减的快慢ττ越大，响应越大，响应衰减越慢；反之，衰减越慢；反之，ττ越小，响应衰减越快越小，响应衰减越快　　　　对对u uc c(t)(t)的讨论：的讨论： 工程上一般取过渡过程时间为工程上一般取过渡过程时间为 或或 作作为过渡过程为过渡过程 电阻上的电压：电阻上的电压： 对对于于RCRC电电路路，，任任何何支支路路上上的的零零输输入入响响应应均均具具有如下形式：有如下形式：同样，电感上的电压为同样，电感上的电压为：：L- -+- -uRuLiLR R+i iL L(0(0+ +) )=I0 R R为从动态元件两端看进去的等效电阻为从动态元件两端看进去的等效电阻,τ,τ是是t t 0 0以以后的后的时间常数。

时间常数 所以，对于一阶电路，任何支路上电压和电流的零所以，对于一阶电路，任何支路上电压和电流的零输入响应都有如下形式：输入响应都有如下形式：tI0iL0连续连续函数函数跃变跃变①①电压、电流随时间也是按同一指数规律衰减的函数；电压、电流随时间也是按同一指数规律衰减的函数；由此可见-RI0uLt0iL+–uLR同样，对于同样，对于RLRL电路，其零输入响应电路，其零输入响应：：②②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与时间常数时间常数 有关有关; ;L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 放电过程消耗能量小，放电过程消耗能量小，放电慢，放电慢， 大大 大大→→过渡过程时间长过渡过程时间长 小小→→过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定：③③能量关系能量关系电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕设设 iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR例：例：图示电路中的电容原来充有图示电路中的电容原来充有24V V电压，求电压，求k闭合后，闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。

电容电压和各支路电流随时间变化的规律解：解：这是一个求一阶这是一个求一阶RC电路的电路的 零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：+uC45F－－i1t >0等效电路等效电路i3S3+uC265F－i2i1+uC45F－－i1分流得：分流得：i3S3+uC265F－－i2i1例：例：t=0时时, ,开关开关S由由1→2，，求求电感电压和电流及开关电感电压和电流及开关两端电压两端电压u12解：解：i+–uL66Ht >0iLS(t=0)+–24V6H3446+－－uL212i+–uL66Ht >0iLS(t=0)+–24V6H3446+－－uL212作业：作业： P237: 6-23 P238: 6-26、、6-27 第六章第六章 一阶电路一阶电路§§6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用§§6.2 6.2 零状态响应零状态响应§§6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应§§6.4 6.4 零输入响应零输入响应§§6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理§§6.6 6.6 三要素法三要素法§§6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态§§6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 若动态电路中既有输入，又有原始储能，则电若动态电路中既有输入，又有原始储能，则电路中的响应称为全响应。

全响应是由输入和原始储路中的响应称为全响应全响应是由输入和原始储能共同产生的，且可通过叠加方式求出因此：能共同产生的，且可通过叠加方式求出因此： 线性一阶电路的叠加原理：线性一阶电路的叠加原理： 若初始时刻为若初始时刻为t=0t=0，则对所有，则对所有t t≥0≥0的时刻，有：的时刻，有：1 1、全响应、全响应= =零状态响应零状态响应+ +零输入响应；零输入响应；2 2、零状态响应具有线性性质，即、零状态响应具有线性性质，即单输入电路的零状单输入电路的零状态响应与该输入成正比；态响应与该输入成正比；3 3、零输入响应也具有线性性质，即零输入响应与原、零输入响应也具有线性性质，即零输入响应与原始状态成正比始状态成正比 上述结论对线性上述结论对线性n n阶动态电路也成立阶动态电路也成立含动态元件电路全响应的求法：含动态元件电路全响应的求法：Nuc(0)=U0N0Uc(0)=U0NUc(0)=0t=0t=0时开关闭合，则电路的微分方程：时开关闭合，则电路的微分方程：初始条件：初始条件：可求得：可求得：代入初值，可求得代入初值，可求得如图所示如图所示RCRC电路，已知：电路，已知：自由分量自由分量 uch（暂态分量）（暂态分量）强制分量强制分量 ucp（稳态分量）（稳态分量）零输入零输入响应响应零状态零状态响应响应于是有：于是有：uctUs0U0U0- UsuctU00UsU0- UsU0 > US ,电容放电电容放电U0 < US ,电容充电电容充电分析：分析：1、、 即：完全响应＝暂态响应＋稳态响应即：完全响应＝暂态响应＋稳态响应 ＝自由分量＋强制分量＝自由分量＋强制分量 ＝齐次解＋特解＝齐次解＋特解 上上式式反反映映了了电电路路具具有有两两种种工工作作状状态态：：过过渡渡状状态态和和稳稳态。

态 当当U U0 0=U=US S时时（（即即初初始始值值等等于于稳稳态态值值）），，无无暂暂态态过过程程，，电路直接进入稳态电路直接进入稳态2、、 即：即： 完全响应＝零输入响应＋零状态响应完全响应＝零输入响应＋零状态响应 上式称为上式称为线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理 线线性性动动态态电电路路的的叠叠加加定定理理：：完完全全响响应应是是由由来来自自输输入入和和来来自自初初始始状状态态分分别别作作用用时时所所产产生生响响应应的的代代数数和和，，即即完完全全响响应应等等于于零零输输入入响响应应加加零零状状态态响响应而对于如图所示的而对于如图所示的RL电路，其微分方程为：电路，其微分方程为：可求得：可求得：代入初始值得：代入初始值得：自由分量自由分量 iLh（暂态分量）（暂态分量）强制分量强制分量 iLp（稳态分量）（稳态分量）零输入零输入响应响应零状态零状态响应响应同样也有：同样也有： 若电路中含有多个独立电源和多个储能元件，若电路中含有多个独立电源和多个储能元件，则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加。

各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加作业：作业： P238: 6-29 P239: 6-32 第六章第六章 一阶电路一阶电路§§6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用§§6.2 6.2 零状态响应零状态响应§§6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应§§6.4 6.4 零输入响应零输入响应§§6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理§§6.6 6.6 三要素法三要素法§§6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态§§6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 分解方法对任何情况都适用但如果只对电分解方法对任何情况都适用但如果只对电路中的某一变量感兴趣，可以采用所谓的三要素路中的某一变量感兴趣，可以采用所谓的三要素法，它可用于求解电路中任一变量的零输入响应法，它可用于求解电路中任一变量的零输入响应和直流作用下的零状态响应、全响应和直流作用下的零状态响应、全响应 由前面的分析可以看到，直流一阶电路中各由前面的分析可以看到，直流一阶电路中各处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都是从各自的初始值开始，逐渐增长或是逐渐衰减是从各自的初始值开始，逐渐增长或是逐渐衰减而到达稳态值的，且同一电路中各支路电流和电而到达稳态值的，且同一电路中各支路电流和电压的时间常数都是相同的。

这类电路中的电压、压的时间常数都是相同的这类电路中的电压、 电流随时间变化的方式只有四种可能的情况，分电流随时间变化的方式只有四种可能的情况，分别如下图所示别如下图所示 上图中：上图中：•y(t)y(t)可以代表电路中的任一电压或电流；可以代表电路中的任一电压或电流；•y(0y(0+ +) )表示该电压或电流的初始值；表示该电压或电流的初始值；•y(y(∞∞) )表示该电压或电流的稳态值；表示该电压或电流的稳态值；•ττ表示电路的时间常数表示电路的时间常数 由此可见，在分析电路时，只要抓住由此可见，在分析电路时，只要抓住y(0y(0+ +) )、、 y(∞)y(∞)和和ττ这三个要素，不仅能画出波形图，也能这三个要素，不仅能画出波形图，也能立即写出相应的解析表示式，不需背诵那些公式立即写出相应的解析表示式，不需背诵那些公式 通过上例可见，运用三要素法的步骤及方法通过上例可见，运用三要素法的步骤及方法如下：如下：1 1、先求初始值先求初始值 初始值往往需要通过动态元件的初始值求出初始值往往需要通过动态元件的初始值求出。

假设已知电容电压初始值假设已知电容电压初始值u uC C(0)(0)或电感电流初始值或电感电流初始值i iL L(0)(0)，用电压为，用电压为u uC C(0)(0)的直流电压源置换电容或用的直流电压源置换电容或用电流为电流为i iL L(0)(0)的直流电流源置换电感，所得电路是的直流电流源置换电感，所得电路是一直流电阻电路，称为一直流电阻电路，称为t=0t=0时的置换电路时的置换电路，由此电，由此电路即可求得任一电压或电流的初始值，即路即可求得任一电压或电流的初始值，即y(0y(0+ +) )2 2、再求稳态值再求稳态值 电路到达稳态后，电容电压和电感电流均不电路到达稳态后，电容电压和电感电流均不在变化，因此，它们对直流分别相当于开路和短在变化，因此，它们对直流分别相当于开路和短路，因此，用开路置换电容或用短路置换电感，路，因此，用开路置换电容或用短路置换电感，所得电路仍为一直流电阻电路，称为所得电路仍为一直流电阻电路，称为t=∞t=∞时的置时的置换电路换电路，由此电路可求得任一电压或电流的稳态，由此电路可求得任一电压或电流的稳态值，即值，即y(y(∞∞) )。

3 3、求去除动态元件后其它部分的戴维南或诺顿等效、求去除动态元件后其它部分的戴维南或诺顿等效电路，以此计算电路的时间常数电路，以此计算电路的时间常数ττ=R=R0 0C C或或ττ=L/R=L/R0 04 4、根据、根据1 1、、2 2、、3 3所得结果，即可得到所需结果：所得结果，即可得到所需结果：y(0+)、、y( )、、τ的具体求法：的具体求法：1、求、求y(0+)：： (a) 先从先从0－－考虑（即换路前的稳态），考虑（即换路前的稳态），C开路，开路，L短路，画出短路，画出0_时的等效电路，求出时的等效电路，求出iL(0-)、、uC(0-) (b) 根据根据uC(0+)＝＝uC(0-)，，iL(0+)＝＝iL(0-)，可得，可得出出t=0+时的等效电路时的等效电路, 进而求出其它支路上的进而求出其它支路上的u(0+)、、i(0+) (c) t=0+时，若时，若uC(0+)=0，，则用短路线置换电容；则用短路线置换电容； iL(0+)＝＝0，，则用开路置换电感；则用开路置换电感； 而若而若uC(0+)=U0，，则则用电压为用电压为U0的电压源置换电容；的电压源置换电容；iL(0+)＝＝I0，，则用电则用电流为流为I0的电流源置换电感。

的电流源置换电感2、求、求y( )：：换路后且达到稳态，换路后且达到稳态，C开路，开路，L短路，短路，得到得到t＝＝∞时的等效电路时的等效电路，，由此电路可求出由此电路可求出u(∞)、、i(∞)3、时间常数、时间常数τ:同一个电路只有一个同一个电路只有一个τ，，τ＝＝RC或或τ=L/R，，R为从动态元件两端看进去的等效电阻为从动态元件两端看进去的等效电阻三要素法小结：三要素法小结：•通过上述各例可见，三要素法的难点在于正确得通过上述各例可见，三要素法的难点在于正确得出初始值出初始值•只有只有u uC C和和i iL L不能跃变，利用它们的初始值可得到电不能跃变，利用它们的初始值可得到电路中其他部分电压、电流的初始值，而这些初始路中其他部分电压、电流的初始值，而这些初始值可能是跃变的，也可能并不跃变，但需要通过值可能是跃变的，也可能并不跃变，但需要通过计算才能确定其具体数值计算才能确定其具体数值•为此，正确作出为此，正确作出t=0t=0+ +置换电路非常重要置换电路非常重要•若电路在若电路在t=0t=0时换路，下表有助于作出该电路，且时换路，下表有助于作出该电路，且也有助于求稳态值。

也有助于求稳态值作业：作业： P240: 6-39、、6-40、、6-41三要素法小结三要素法小结 通过对动态电路的分析可以看到，直流一阶通过对动态电路的分析可以看到，直流一阶电路中各处的电压、电流都是按指数规律变化的，电路中各处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都是从各自的初始值开始，逐渐增长或是逐它们都是从各自的初始值开始，逐渐增长或是逐渐衰减而到达稳态值的，且同一电路中各支路电渐衰减而到达稳态值的，且同一电路中各支路电流和电压的时间常数都是相同的这类电路中的流和电压的时间常数都是相同的这类电路中的电压、电流随时间变化的方式只有四种可能的情电压、电流随时间变化的方式只有四种可能的情况 由此可见，在分析电路时，只要抓住由此可见，在分析电路时，只要抓住y(0y(0+ +) )、、 y(∞)y(∞)和和ττ这三个要素，不仅能画出波形图，也能这三个要素，不仅能画出波形图，也能立即写出相应的解析表示式，且四种情况可归结立即写出相应的解析表示式，且四种情况可归结为一个表达式，而不再需背诵所有公式，即：为一个表达式，而不再需背诵所有公式，即：y(0+)、、y( )、、τ的具体求法：的具体求法：1、求、求y(0+)：： (a) 先从先从0－－考虑（即换路前的稳态），考虑（即换路前的稳态），C开路，开路，L短路，画出短路，画出0_时的等效电路，求出时的等效电路，求出iL(0-)、、uC(0-)。

(b) 根据根据uC(0+)＝＝uC(0-)，，iL(0+)＝＝iL(0-)，可得，可得出出t=0+时的等效电路时的等效电路, 进而求出其它支路上的进而求出其它支路上的u(0+)、、i(0+) (c) t=0+时，若时，若uC(0+)=0，，则用短路线置换电容；则用短路线置换电容； iL(0+)＝＝0，，则用开路置换电感；则用开路置换电感； 而若而若uC(0+)=U0，，则则用电压为用电压为U0的电压源置换电容；的电压源置换电容；iL(0+)＝＝I0，，则用电则用电流为流为I0的电流源置换电感的电流源置换电感2、求、求y( )：：换路后且达到稳态，换路后且达到稳态，C开路，开路，L短路，短路，得到得到t＝＝∞时的等效电路时的等效电路，，由此电路可求出由此电路可求出u(∞)、、i(∞)3、时间常数、时间常数τ:同一个电路只有一个同一个电路只有一个τ，，τ＝＝RC或或τ=L/R，，R为从动态元件两端看进去的等效电阻为从动态元件两端看进去的等效电阻三要素法的难点在于正确得出初始值三要素法的难点在于正确得出初始值•特别注意！！！特别注意！！！ 只有只有u uC C和和i iL L不能跃变，利用它们不能跃变，利用它们的初始值可得到电路中其他部分电压、电流的初的初始值可得到电路中其他部分电压、电流的初始值，而这些初始值可能是跃变的，也可能并不始值，而这些初始值可能是跃变的，也可能并不跃变，但需要通过计算才能确定其具体数值。

跃变，但需要通过计算才能确定其具体数值•为此，正确作出为此，正确作出t=0t=0+ +置换电路非常重要置换电路非常重要•若电路在若电路在t=0t=0时换路，下表有助于作出该电路，同时换路，下表有助于作出该电路，同样也有助于求稳态值样也有助于求稳态值第六章第六章 一阶电路一阶电路§§6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用§§6.2 6.2 零状态响应零状态响应§§6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应§§6.4 6.4 零输入响应零输入响应§§6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理§§6.6 6.6 三要素法三要素法§§6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态§§6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 本章从第二节到第五节是通过叠加方法来研本章从第二节到第五节是通过叠加方法来研究一阶电路的而本章最后两节则从电路的工作究一阶电路的而本章最后两节则从电路的工作状态状态——瞬态和稳态来研究一阶电路瞬态和稳态来研究一阶电路 由于动态电路中有储能元件，因此，对输入由于动态电路中有储能元件，因此，对输入或电路状况（例如参数）的变化，电路不能作出或电路状况（例如参数）的变化，电路不能作出即时反应。

如，当把直流电压源施加于即时反应如，当把直流电压源施加于RC串联电串联电路时，需要经过一段时间后才能达到稳定状态，路时，需要经过一段时间后才能达到稳定状态，这段时间，电路处于瞬态因此，电路从时间上这段时间，电路处于瞬态因此，电路从时间上说可分为两种工作状态说可分为两种工作状态——瞬态和稳态瞬态和稳态 其实，许多动态电路都呈现出这两种工作状其实，许多动态电路都呈现出这两种工作状态，因而构成了动态电路分析的一项内容态，因而构成了动态电路分析的一项内容 稳定状态（稳态）稳定状态（稳态）是指当描述动态电路的变量是指当描述动态电路的变量是不随时间而变的常量，或者是随时间而变的周是不随时间而变的常量，或者是随时间而变的周期量时，称此电路进入稳态期量时，称此电路进入稳态 电路不处于稳态即处于电路不处于稳态即处于瞬态瞬态（（暂态暂态、瞬变）、瞬变）或非稳态或非稳态 瞬态往往明显地具有从一种稳态或工作状态瞬态往往明显地具有从一种稳态或工作状态进入另一种稳态或工作状态的特征，常常又称为进入另一种稳态或工作状态的特征，常常又称为过渡过程。

过渡过程 下面讨论如何求解电路的瞬态响应和稳态响下面讨论如何求解电路的瞬态响应和稳态响应 先回顾一下第二节中所示零初始状态的先回顾一下第二节中所示零初始状态的RC电电路被直流电压源路被直流电压源US充电情况充电情况该电路方程为：该电路方程为： u uC C(t)(t)由两项组成第一项由两项组成第一项U US S为稳态值，即直流为稳态值，即直流电压源要求电容电压达到的数值，称为电压源要求电容电压达到的数值，称为u uC C(t)(t)的的稳态响应分量或强制响应分量，如上图曲线稳态响应分量或强制响应分量，如上图曲线①① 但由于电容电压的连续性质，在电压源作用到电但由于电容电压的连续性质，在电压源作用到电路瞬间，电容电压将路瞬间，电容电压将“坚持坚持”在原有的初始值在原有的初始值U UC C(0)(0)，不能立即满足电压源对电路的要求第二，不能立即满足电压源对电路的要求第二项项 的出现就是为解决这一矛盾的这一分的出现就是为解决这一矛盾的这一分量的初始值为量的初始值为-U-US S，与，与t=0t=0时的稳态分量时的稳态分量U US S相抵消，相抵消，以满足以满足u uC C的初始值为零的要求，以后即随时间按指的初始值为零的要求，以后即随时间按指数规律逐渐消失，直到数规律逐渐消失，直到t=(4t=(4~5)5)ττ时，可认为已消时，可认为已消失为零，这时，失为零，这时，u uC C(t)(t)才达到直流电压源所要求的才达到直流电压源所要求的数值，即数值，即U US S。

这第二项是暂时存在的，故称为瞬态这第二项是暂时存在的，故称为瞬态响应分量，其一般形式为响应分量，其一般形式为 ，， 而此处的而此处的K=-UK=-US S, ,实际上为实际上为u uC C(0)(0)与与t=0t=0时稳态值之差，时稳态值之差，波形如下图波形如下图②②所示 这一分量又称为固有响应分量或自由响应分量，这一分量又称为固有响应分量或自由响应分量，可认为是外施电源作用于电路后，电路本身作出可认为是外施电源作用于电路后，电路本身作出的反应 u uC C(t)(t)的响应如图中曲线的响应如图中曲线③③所示 对非零初始状态、直流作用下的全响应，也可对非零初始状态、直流作用下的全响应，也可分为稳态响应分量和瞬态响应分量稳态响应分量分为稳态响应分量和瞬态响应分量稳态响应分量可按换路后的直流电阻电路可按换路后的直流电阻电路(C(C以开路、以开路、L L以短路置以短路置换换) )求得，如同三要素法中求解求得，如同三要素法中求解y(∞)y(∞) 瞬态响应分量一般形式为瞬态响应分量一般形式为 ，而，而K K应为初始应为初始值与值与t=0t=0时稳态值之差。

时稳态值之差 因此，有：因此，有： 全响应全响应= =稳态响应稳态响应+(+(初始值初始值- -稳态值稳态值t=0t=0) ) 在第二节和第五节中，从叠加观点得到：在第二节和第五节中，从叠加观点得到： 全响应全响应= =零状态响应零状态响应+ +零输入响应零输入响应 本节从工作状态观点得到：本节从工作状态观点得到： 全响应全响应= =稳态响应稳态响应+ +瞬态响应瞬态响应 当研究激励与初始状态对全响应的影响时，可采当研究激励与初始状态对全响应的影响时，可采用零状态响应和零输入响应的概念，由这两种响应用零状态响应和零输入响应的概念，由这两种响应叠加得出全响应叠加得出全响应 而当研究电路的稳态时，需求解电路的稳态响应而当研究电路的稳态时，需求解电路的稳态响应研究过渡过程则既要求得稳态响应，又要求得瞬态研究过渡过程则既要求得稳态响应，又要求得瞬态响应，但这里所说的相加则并无叠加的含义响应，但这里所说的相加则并无叠加的含义第六章第六章 一阶电路一阶电路§§6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用§§6.2 6.2 零状态响应零状态响应§§6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应§§6.4 6.4 零输入响应零输入响应§§6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理§§6.6 6.6 三要素法三要素法§§6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态§§6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦交流电压和电流，它们都属于正弦波。

弦交流电压和电流，它们都属于正弦波 正弦波是周期波形的基本形式，在电路理论正弦波是周期波形的基本形式，在电路理论和实际工作中都占有极其重要的地位它可通过和实际工作中都占有极其重要的地位它可通过发电机、电子振荡器产生正弦电压波形如下图发电机、电子振荡器产生正弦电压波形如下图所示 正弦规律既可用时间的正弦规律既可用时间的sin函数表示，也可用函数表示，也可用时间的时间的cos函数表示，本书采用函数表示，本书采用cos函数，仍可称函数，仍可称为正弦波为正弦波 上图所示正弦电压的瞬时值可表示为：上图所示正弦电压的瞬时值可表示为： u(t)=Umcosωt u(t)=Umcosωt 这里，这里，Um为电压的振幅或最大值，是一个常量；为电压的振幅或最大值，是一个常量； ωt是一个随时间变化的角度，是一个随时间变化的角度， ω则是一个与频率则是一个与频率f 有关的常量，有关的常量， ω=2π/T= 2πf T为周期，单位为秒为周期，单位为秒(s)，频率，频率f的单位为赫的单位为赫(Hz)，， ω称为角频率，单位为弧度称为角频率，单位为弧度/秒秒(rad/s)。

我国电力系统提供的交流电压，其频率我国电力系统提供的交流电压，其频率f为为50赫兹，赫兹，ω为为100 πrad/s 一般情况下，正弦波的时间起点不一定恰好一般情况下，正弦波的时间起点不一定恰好选在最大值的瞬间，例如下图所示如果以角度选在最大值的瞬间，例如下图所示如果以角度计量，时间起点选在离最大值瞬间之后角计量，时间起点选在离最大值瞬间之后角ψ处，处，亦即当亦即当ωt=-ψ时，才有时，才有u=Um因此，该正弦电压因此，该正弦电压应表示为：应表示为： u(t)=Umcos(ωt+ψ) u(t)=Umcos(ωt+ψ) 式中，式中，ψ称为初相角，简称初相，它反映了正弦称为初相角，简称初相，它反映了正弦波初始值的大小，即：波初始值的大小，即： u(0)=Umcos(ψ) 正弦电压还可表示为：正弦电压还可表示为： u(t)=Umcos(2πf t+ψ) 由此可见，一个正弦波可由三个参数完全确由此可见，一个正弦波可由三个参数完全确定，即：定，即：振幅振幅、、频率频率（或（或角频率或周期角频率或周期）以及）以及初初相相，他们称为正弦波的三个特征。

他们称为正弦波的三个特征 下面来求解如图下面来求解如图(a)所示所示RC电路在电路在t=0时与图时与图(b)所示正弦电压源接通后的正弦响应所示正弦电压源接通后的正弦响应uC(t) 设输入的正弦电压为：设输入的正弦电压为： uS(t)=USmcos(ωt+ψ) t≥0 电路的微分方程与前述一样，只是输入不再电路的微分方程与前述一样，只是输入不再是是US，而是正弦时间函数，即：，而是正弦时间函数，即： 设电容的初始电压设电容的初始电压uC(0)=0方程的解方程的解uC(t)同同样也由稳态解样也由稳态解uCp(t)和瞬态解和瞬态解uCh(t)组成 稳态解即上节所称的稳态响应，即电路完全稳态解即上节所称的稳态响应，即电路完全由外施电源主宰时的响应，显然是与输入同一频由外施电源主宰时的响应，显然是与输入同一频率的正弦时间函数，即：率的正弦时间函数，即： uCp(t)=UCmcos(ωt+ψu) 其中，其中，UCm和和ψu为待定常数为确定该常数，可为待定常数。

为确定该常数，可将将uCp(t)带入微分方程，得到：带入微分方程，得到：将上式左端两项相加后，得：将上式左端两项相加后，得：稳态响应波形如下图所示稳态响应波形如下图所示 另外，在电源接入电路的瞬间，电路中还将另外，在电源接入电路的瞬间，电路中还将产生瞬态响应产生瞬态响应 ，以满足初始条件的需，以满足初始条件的需要，即保持电容电压的连续性要，即保持电容电压的连续性 本电路中，稳态响应本电路中，稳态响应uCp(t)在在t=0时的值为时的值为uCp(0)=UCmcos(0+ψu)= UCmcosψu，而初始条件，而初始条件uC(0)=0，两者并不一致由瞬态响应初始值，两者并不一致由瞬态响应初始值K的的一般表示式：一般表示式： K= uC(0)- UCmcosψu 当当uC(0)=0时，时，K= - UCmcosψuτ=RC 所以，电路的全响应为：所以，电路的全响应为： 全响应波形如下图所示全响应波形如下图所示 在在t=(4~5)τ期间，电路处于过渡过程，在此期期间，电路处于过渡过程，在此期间，响应不是按正弦方式变化，如上页图实线所间，响应不是按正弦方式变化，如上页图实线所示。

而当电路进入稳态后，响应将按与外施激励示而当电路进入稳态后，响应将按与外施激励一致的正弦方式变化，这一响应特称为正弦稳态一致的正弦方式变化，这一响应特称为正弦稳态响应（第三篇还将专门讨论）响应（第三篇还将专门讨论） 如果如果uC(0)≠0而恰好等于而恰好等于UCmcosψu，电路将，电路将无瞬态响应分量，换路后电路立即进入正弦稳态无瞬态响应分量，换路后电路立即进入正弦稳态而在零状态条件下，要使而在零状态条件下，要使K值为零，此情况显然发值为零，此情况显然发生在稳态响应分量的初相生在稳态响应分量的初相 时那么，时那么，根据根据 可知，如果可知，如果 ，， 则正弦输入的初相则正弦输入的初相ψ必须等于必须等于 ，也就是说，如果在正弦输入与电路接通的瞬间，，也就是说，如果在正弦输入与电路接通的瞬间，其初相其初相ψ刚好等于这一数值，电路将立即进入稳态刚好等于这一数值，电路将立即进入稳态 反过来，在零状态条件下，如果换路发生在反过来，在零状态条件下，如果换路发生在稳态响应分量的初相稳态响应分量的初相ψu=0或或π时，则根据时，则根据K= - UCmcosψu，，K值将为值将为-UCm或或UCm，达到了最大可，达到了最大可能值。

在此情况下，过渡过程中将可能出现过电能值在此情况下，过渡过程中将可能出现过电压现象，亦即电压瞬时值超过稳态电压最大值的压现象，亦即电压瞬时值超过稳态电压最大值的现象，如下页图所示现象，如下页图所示 对于非零初始状态，分析方法完全一样，但在对于非零初始状态，分析方法完全一样，但在前述结果中需增加零输入响应前述结果中需增加零输入响应 项因此，当因此，当uC(0)≠0时，时，作业：作业： P241: 6-45、、6-47。