「普通高级中学必修选修科目「数学」课程纲要(草案)」.pdf

普通高級中學必修選修科目「數學」課程綱要（草案) 目標 理念 1. 每冊有一主題，讓學生能掌握主要脈絡，建構清晰的數學概念 2. 學習化繁為簡、以簡御繁的數學思考方法及解題策略 3. 注意歸納思維的訓練，讓學生發現規律性，發展數學建模基本能力 4. 以重要的圖形與實例充實抽象思維的內涵 5. 強調數學的應用，凸顯數學的普遍性與本質性 原則 1. 要能把握其他學科所需要的核心題材 2. 要能銜接大學基礎課程 教材綱要 1. 普通高級中學必修科目「數學」課程十六學分 2. 普通高級中學選修科目「數學」課程三至八學分 數學Ｉ:函數（４學分) 主題 子題 內容 206204 一、數與式 1.數與數線 1.１ 整數系、輾轉相除法 1.2 數線上的有理點及其十進位的表示法 1.3 實數系：實數的十進位表示法、四則運算、絕對值、大小關係 2.數線上的幾何 ２．1 數線上的兩點距離與分點公式 ２．2 含絕對值之一次方程式與不等式 3.文字符號的運算 3.１ 乘法公式與因式分解 3.２ 分式與根式的運算與化簡 二、多項函數 1.簡單多項函數及其圖形 1．1 一次函數、二次函數、配方法、極值、圖形 1.2 單項函數:奇偶性、單調性、凹凸性、圖形平移 2.多項式的運算與應用 2.1 乘法、除法(含綜合除法）、除法原理（含餘式定理、因式定理）及其應用(含多項函數的求值) 2.2 插值多項函數 3．多項方程式 3．1 二次方程式的根(含複數根與複數的四則運算） ３．2 有理根判定法、勘根定理、二分逼近法、ｎ次方根 3.３ 實係數多項式的代數基本定理 、虛根成對定理 4.多項函數的圖形與多項不等式 4.1 辨識已分解的多項函數圖形及處理其不等式問題 三、指數、對數函數 １.指數定律與指數建模 1.1 指數為整數、分數與實數的指數定律 1.２指數成長的問題 2.指數、對數函數及其圖形 2．1 介紹10xy 的函數圖形、性質及其特徵(含單調性) ２.2 介紹logyx函數圖形、性質及特徵（含定義域、對數定律、單調性、凹凸性、算幾不等式) 2．3 一般底的指數、對數函數與換底公式 3.對數定律的應用 3．１ 對數表、內插法與使用計算器 3.２ 科學記號、首尾數,處理乘除與次方問題 ３.3 指數方程式與指數不等式的應用問題 附錄 認識定理的敍述與證明 介紹命題、充分條件、必要條件、反證法 ﻬ數學 II：有限數學（4 學分） 主題 子題 內容 一、數列與級數 １．數列 1.1 發現數列的規律性 1.2 數學歸納法 ２.級數 2．1 介紹Σ符號及其基本操作 主題 子題 內容 一、數列與級數 １．數列 1.1 發現數列的規律性 1.2 數學歸納法 ２.級數 2．1 介紹Σ符號及其基本操作 二、排列、組合 1．集合與計數原理 １.１ 集合的定義、集合的表示法與操作 1.2 基本計數原理(含窮舉法、樹狀圖、一一對應原理) 1．3 加法原理、乘法原理、取捨原理 2．排列與組合 ２.1 直線排列、重複排列 2.2 組合、重複組合 3.二項式定理 3．1 以組合概念導出二項式定理 3.２ 巴斯卡三角 三、機率 1.樣本空間與事件 １.１ 樣本空間與事件 2.機率的定義與性質 ２.1 古典機率的定義 3.條件機率與貝氏定理 ３．1 獨立事件、條件機率、貝氏定理 4.隨機變數 4.1 期望值、變異數、標準差 5.二項分布 5.1 重複試驗、二項分布、二項分布之性質 四、統計 1.數據分析 1.1 一維數據：平均數與標準差、數據的標準化 1.2 二維數據:散佈圖、相關係數 2．抽樣與統計推論 ２.1 抽樣方法：簡單隨機抽樣 2.2 亂數表 2.3 常態分布、信賴區間與信心水準的解讀 附錄 最小平方法 數學 IＩI：平面坐標與向量(4 學分） 主題 子題 內容 一、直線 1.直線方程式及其圖形 1．1 斜率、點斜式 1.2 兩線關係（垂直、平行、相交）、聯立方程式 2.線性規劃 2.1 二元一次不等式 2.2 線性規劃(目標函數為一次式) 二、三角 1.廣義角與極坐標 1.1 直角三角形的邊角關係(正弦、餘弦、正切)、平方關係 1.２ 廣義角與極坐標 １.3 廣義角的正弦、餘弦、正切及補角關係 1.4 直角坐標與極坐標的變換 2.正弦、餘弦定理 2.1 面積與正弦定理、長度與餘弦定理、海龍公式 ３．差角公式 3．1 含和角、倍角、半角公式 ４．三角測量 ４.1 查表或使用計算器 4.2 平面與立體測量 三、平面向量 1.平面向量的表示法 １.1 幾何表示、坐標表示，加減法、係數乘法 1.2 線性組合、平面上的直線參數式 ２．平面向量的內積 2.1 內積與餘弦的關聯、正射影與高、柯西不等式 2.2 直線的法線式、點到直線的距離、兩向量垂直的判定 3．面積與二階行列式 3.1 面積公式與二階行列式的定義與性質、兩向量平行的判定 3.2 兩直線幾何關係的代數判定、二階克拉瑪公式 數學 IV：線性代數（４學分) 主題 子題 內容 一、空間向量 1．空間概念 1.1 空間中兩直線、兩平面、及直線與平面的位置關係 2.空間向量的坐標表示法 2.1 空間坐標系：點坐標、距離公式 2.2 空間向量的加減法、係數乘法，線性組合、直線與平面的參數式 ３.空間向量的內積 ３．1 內積與餘弦的關聯、正射影與高、柯西不等式、兩向量垂直的判定 4. 外積、體積與行列式 4.1 外積與正弦的關聯、兩向量所張出之平行四邊形面積 4.2 三向量所張出之平行六面體體積、三階行列式的定義 5. 平面方程式 5．1 平面的法線式、兩平面的夾角、點到平面的距離 6． 空間直線方程式 6.1 含直線的參數式、點到直線的距離、兩平行線的距離、兩歪斜線的距離 7. 三元一次聯立方程組 7．1 加減消去法、代入消去法 ７.２ 三平面幾何關係的代數判定 二、矩陣 １.線性方程組與矩陣 1．1 高斯消去法 ２.矩陣的運算 ２．1 矩陣的加法、純量乘法、乘法 3.平面上的線性映射與二階方陣 3.１ 線性映射的面積比 3.２ 二階反方陣 4.矩陣的應用 4.1 轉移矩陣 三、二次曲線 １. 圓與直線的關係 1.1 圓與直線的相切、相割、不相交的關係及其代數判定 2. 橢圓、雙曲、拋物線 2.１ 橢圓、雙曲、拋物線之標準式 3. 坐標變換 3.1 平移:平面上的點、二次曲線在不同的平行坐標系之表現 3.２ 配方、平移及其幾何應用 3．3 伸縮：中心在原點的二次曲線之伸縮及所導出的二次曲線系2222xykab 。