相遇问题讲义(共10页).doc

第七讲：相遇问题（一）     相遇问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，这类问题往往情节变化多，数量关系比较隐蔽，历来是行程问题中的难点解答这类问题要求大家理解和掌握下面的基本数量关系：    路程÷（速度1+速度2）=相遇时间    路程÷相遇时间=速度1+速度2   （速度1+速度2）╳相遇时间=路程    这一讲我们主要研究一次相遇问题 【例题解析】例1 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米乙车每小时行多少千米？    分析:            从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）（2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米）（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4） 乙车每小时行多少千米？ 105÷3=35（千米）答：乙车每小时行35千米想一想：这一题还可以怎么做呢？【边学边练】AB两地间有一条公路长2800米，甲车从A地出发5分钟后，乙车从B地出发，又经过10分钟两车相遇。

已知乙车每分钟行100米，甲车每分钟行多少米？ 例2 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？    分析:        从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了解：（1）从家到学校的距离的2倍：1400×2=2800（米）    （2）从出发到相遇所需的时间：2800÷（200+80）=10（分）    （3）相遇处到学校的距离：1400-80×10=600（米）    答：从出发到相遇，妹妹走了10分钟，相遇处离学校有600米边学边练】妹妹从家出发到学校去，每分钟走80米，家与学校相距1400米5分钟后，哥哥骑自行车从家出发去学校，每分钟行200米哥哥刚到学校就立即沿原路返回，在途中与妹妹相遇从妹妹从家出发到与哥哥相遇，妹妹共走了几分钟？ 例3 两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。

甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？   分析:如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和：328+22×1=350（千米），两车的速度和：28+22=50（千米/小时），然后根据相遇问题“路程和÷速度和=相遇时间”得 350÷50=7（小时）    解：（328+22×1）÷（28+22）        =350÷50        =7（小时）    答：从出发到相遇经过了7小时想一想：假设让甲车先开1小时，乙在途中不停车，然后两车相遇，应该怎样解答？【边学边练】甲乙两地相距350千米，一辆汽车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地两小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地几点两车在途中相遇？ 例4 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？    分析:         从图中可知：快车3小时行的路程400×3=120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是120-12=108千米。

而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米，所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度    解：①甲乙两地路程的一半：40×3-12=108（千米）        ②慢车3小时行的路程：108-12=96（千米）        ③慢车的速度：96÷3=32（千米）   答：慢车每小时行32千米边学边练】AB两地相距832千米，快、慢两车同时从A、B两地相向开出，快车每小时行56千米，两车在离中点32千米处相遇，求慢车每小时的速度 【相关链接】解答一次相遇问题时，要弄清题意，按照题意画画线段图，借助线段图，显现隐蔽的条件，然后依据速度和、时间和路程三者之间的关系，选择解法 【课外拓展】1、已知甲、乙两车站相距470千米，一列火车于中午1时从甲站出发，每小时行52千米，另一列火车下午2时30分从乙站开出，下午6时两车相遇从乙站开出的火车的速度是每小时多少千米？2、甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去,已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已30分钟甲每分钟走多少米？乙每分钟走多少米？3、甲、乙两地间的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地。

货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几点出发？4、快慢两列火车同时从甲乙两地相向开出,4小时后两车在距中点18千米处相遇,快车每小时行54千米甲乙两地相距多少千米？ 【走进赛题】1、小李从A地到B地步行需要36分钟，小黄骑自行车从B地到A地需要12分钟，小李从A地、小黄从B地同时相向出发，经过多少分钟相遇？（2001年开平市小学数竞赛试题）2、甲、乙两车同时从相距589千米的两地相向而行甲车每小时行60千米，乙车每小时行64千米两车行了多少小时还相距93千米？再经过多少小时，又相距93千米？（广东省2003年小学数学“育苗杯”通讯赛试题）3、甲乙两地相距90千米，小汽车的速度是大卡车的2倍两车同时从甲地出发，小汽车到达乙地后立即返回，然后两车在丙地相遇那么乙丙两地相距多少千米？（2001年浙江省小学数学夏令营试题）4、从甲地到乙地快车需要6小时，慢车要8小时如果两车同时从甲乙两地相向开出，可在距中点35千米处相遇甲乙两地的距离是多少千米？（2002年吉林省第八届小学数学邀请赛试题）第八讲：相遇问题（二）     上一讲我们主要研究了一次相遇问题，本讲主要研究两次（或两次以上）相遇问题即同时相向而行到双方一次相遇后仍继续行进，然后返回到再次相遇或多次相遇。

 【例题解析】例1  AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？    分析:        从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程然后甲乙两人到达对方城市后立即以原速沿原路返回，当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时甲乙共行了多少个小时呢？可以用两城全长的3倍除以甲乙速度和就可以了    解：（1）甲乙出发到第二次相遇时共行了多少千米？240×3=720（千米）        （2）甲乙两人的速度和是多少？45+35=80（千米）         (3）甲乙两人从出发到第二次相遇共用了多少小时？ 720÷80=9（小时）        （4）相遇地点离A城多少千米？35×9-240=75（千米）    答：9小时后，两车在途中第二次相遇，相遇地点离A城75千米 【边学边练】AB两地相距119千米，甲乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，并连续往返于甲、乙两地甲车每小时行42千米，乙车每小时行28千米。

几小时后，两车在途中第三次相遇？相遇时甲车行了多少千米？ 例2 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？    分析:        从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85千米当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时小华共行了3个85千米，如果再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就可以求出来了解：（1）甲乙出发到第二次相遇时，小华共行了多少千米？85×3=255（千米）（2）甲乙两城相距多少千米？（255+35）÷2=290÷2=145（千米）答：两城相距145千米边学边练】甲、乙辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地80千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车达到B地，摩托车到达A地后都立刻返回，两车又在途中距B地20千米处第二次相遇，A、B两地间的路程是多少千米？ 例3 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。

求甲乙两站相距多少千米？    分析        如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3个全程，在这段时间里客车一共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出 行3个全程的时间为216÷6=36小时，由此可求出行一个全程时间：36÷3=12小时，因而可以求出甲乙两站的距离     解：①从出发到第二次是两车行驶的时间：216÷（54-48）=36（小时）         ②从出发到第一次相遇所用的时间：36÷3=12（小时）         ③甲乙两站的距离：（54+48）×12=1224（千米）     答：求甲乙两站相距1224千米边学边练】甲城、乙城相距90千米，小张与小王分别从甲、乙两城同时出发，在两城之间往返行走(到达另一城城后马上返回)在出发后2小时两人第一次相遇小王到达甲城后返回，在离甲城30千米的地方两人第二次相遇小张每小时走多少千米？小王每小时走多少千米？ 例4 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇求丙车的速度。

    分析:        解答的关键是求出卡车的速度，从图上明显看出，甲车6小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关系，求出丙车速度    解：（1）卡车的速度：（ 60×6-48×7）÷（7-6）=24÷1=24（千米）        （2）AB两地之间的距离：（60+24）×6=504（千米）        （3）丙车与卡车的速度和：504÷8=64（千米）        （4）丙车的速度：64-24=40（千米/小时）    答：丙车的速度每小时40千米边学边练】甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相距多少米？ 【相关链接】由于双方运动时没有告诉我们具体时间，所以以双方行一个全程为标准来研究他们之间的关系以双方行一个全程时某一方行多少路程为基础，求出两次（或两次以 上）相遇时某一方一共行了多少路程是解答两次（或两次以上）相遇问题的关键在分析过程中，如果巧妙地辅之过程图，就能达到化繁为简、化抽象为形象的。