第三章平稳时间序列分析.docx

Revised as of 23 November 2020第三章平稳时间序列分析第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列 方法性工具 差分运算1、 p阶差分 记为的1阶差分：记为的2阶差分：以此类推：记为的p阶差分：2、 k步差分记为的k步差分： 延迟算子1、 定义 延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子，有 延迟算子的性质： 1. 2.若c为任一常数，有 3.对任意俩个序列{}和{}，有 4. 5. 2、 用延迟算子表示差分运算1、p阶差分 2、 k步差分 ARMA模型的性质 AR模型定义 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p): AR(p)模型有三个限制条件：条件一：。

这个限制条件保证了模型的最高阶数为p条件二：这个限制条件实际上是要求随机干扰序列为零均值白噪声序列条件三：这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关通常把AR(p)模型简记为： 当时，自回归模型式又称为中心化AR(p)模型非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列令 则{}为{}的中心化序列 AR(p)模型又可以记为： ，其中称为p阶自回归系数多项式2、 AR模型平稳性判断P45【例】 考察如下四个AR模型的平稳性： 拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳1、 特征根判别 任一个中心化AR(p)模型都可以视为一个非齐次线性差分方程 则其齐次线性方程的特征方程为：设为齐次线性方程的p个特征根。

所以 AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内同时等价于：AR模型的自回归系数多项式的根，即的根，都在单位圆外 证明：设为齐次线性方程的p个特征根，任取，带入特征方程： 把带入中，有 根据这个性质，可以因子分解成：，于是可以得到非其次线性方程的一个特解： 2、 平稳域判别 使得特征方程的所有特征根都在单位圆内的系数集合 被称为AR(p)模型的平稳域1) AR(1)模型的平稳域 AR(1)模型为：，其特征方程为：，特征根为：则AR（1）模型平稳的充要条件是,则AR(1)模型的平稳域是(2) AR(2)模型的平稳域 AR(2)模型为：其特征方程为：，特征根为：则AR（2）模型平稳的充要条件是：，从而有： 因此可以导出： 所以 AR(2)模型的平稳域： 【例续】 分别用特征根判别法和平稳域判别法检验如下四个AR模型的平稳性： 其中模型特征根判别平稳域判别结论1)平稳2)非平稳3)平稳4)非平稳3、 平稳AR模型的统计性质1、 均值 假如AR(p)满足了平稳性条件，于是 由平稳序列均值为常数的性质得：，因为，所以 等价于 特别对于中心化AR(p)模型有。

2、 方差(1) Green函数设为平稳AR(p)模型的特征根，则平稳AR(p)模型可以写成： 其中，系数称为Green函数 记，则简记为： 再将带入AR(p)模型中，得到 Green函数的递推公式为： 其中(2)平稳AR模型的方差对平稳AR模型两边就方差，有 由于，这说明平稳序列方差有界，等于常数【例】求平稳AR(1)模型的方差 AR(1)模型：Green函数为：，所以平稳AR(1)模型的方差为： 3、 协方差函数 在平稳模型等号两边同时乘，再求期望，得 又由，，可以得到自协方差函数的递推公式： 【例】求平稳AR(1)模型的自协方差函数。

平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：又由【例】知，，所以平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：【例】求平稳AR(2)模型的自协方差函数 求平稳AR(2)模型的自协方差函数的递推公式为：，特别地，当k=1时，有，即利用Green函数可以推出AR(2)模型的协方差： 所以平稳AR(2)模型的协方差函数的推导公式为： 4、 自相关系数(1) 平稳AR模型自相关系数的推导公式由于，式 两边同时除以，可以得到自相关系数的推导公式： 平稳AR(1)模型的自相关系数推导公式： 平稳AR(2)模型的自相关系数推导公式： (2) 自相关系数的性质平稳AR模型自相关系数有连个显着的特性： 一、拖尾性 二、呈负指数衰减5、 偏自相关系数(1) 偏自相关系数的定义定义 对于平稳序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量条件下，或者在剔除中间k-1个随机变量的干扰后，的影响的相关度量。

2) 偏自相关系数的计算 对于平稳序列，用过去的k期序列值对作k阶自回归拟合，即 式中，在式两边同时乘，并求期望，得，取前k个方程构成的方程组：该方程组成为Yule—Walker方程用矩阵表达 ? 则，其中 D为式 的行列式，为把D中第k个列向量换成等号右边的自相关系数响亮后构成的行列式3) 偏自相关系数的截尾性 平稳的AR(p)模型的偏自相关系数具有p步截尾性指，只要当k>p时，AR(1)模型的偏自相关系数为： AR(2)模型的偏自相关系数为： MA模型1、 定义 定义 具有如下结构的模型称为q阶移动平均(moving average)模型，简记为MA(q): 使用MA(q)模型需要满足两个限制条件：条件一：，这个限制条件保证了模型的最高阶数为q。

条件二：，即随机干扰项为零均值白噪声序列通常把MA(q)模型简记为： 当时，模型 称为中心化MA(q)模型，而对非中心化模型只需做一个简单的位移，就可以转化证中心化MA(q)模型使用延迟算子，中心化MA(q)模型又简记为： ，式中，称为q阶移动平均系数多项式2、 MA模型的统计性质1、 常数均值 当时，MA(q)模型具有常数均值： 如果该模型为中心化MA(q)模型，则该模型均值为零2、 常熟方差 3、 自协方差函数只与滞后阶数相关，且q阶截尾 = 4、 自相关系数q阶截尾 MA(1)模型的自相关系数为 MA(2)模型的自相关系数为 5、 偏自相关系数拖尾(1)当时，MA(q)模型一定为平稳模型。

2)MA(q)模型的偏自相关系数拖尾，自相关系数q阶截尾3、 MA模型的可逆性 为了保证一个给定的自相关函数能够对应唯一的MA模型，我们就要给模型增加约束条件这个约束条件称为MA模型的可逆性条件1) 可逆的定义 MA(1)模型具有如下结构式，他们的自相关系数正好相等： 模型1： 模型2：把这两个MA(1)模型表示成两个自相关模型形式： 模型1： 模型2： 显然，时，模型1收敛，而模型2不收敛；时，模型1不收敛，而模型2收敛若一个MA模型能够表示成收敛的AR模型形式，那么该MA模型则称为可逆模型一个自相关系数唯一对应一个可逆MA模型2) MA(q)模型的可逆性。