第 09 讲 配凑法.docx
8页
第 09 讲 配凑法 （ 高中版 ）第课时）神经网络准确记忆!重点难点好好把握!重点：1．；2．；3． 难点：1．；2．；3．；考纲要求今牛女不 注意紧扣!1 • ； 2•； 3. o命题预测I仅供参考!1•• 2.• 3・o考点热点一定掌握!所谓“配凑”指的是利用恒等变形的方法，把一个解析式中的某些项配凑我们所需要的形式， 用得最多的是配成完全平方式它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明 等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等等方面都经常用到它常用的基本配凑形式如下：a2 +b2 = (a+b) 2 —2ab= (a—b) 2 +2ab ；b /a 2 +ab+b 2 = (a+b) 2 —ab=(a—b) 2 +3ab=(a+ ㊁)2 +( _^ b) 2；1a2 +b2 +c2 +ab+bc + ca=㊁[(a+b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2]a2 +b2 +c2 = （a+b + c） 2 —2（ab+bc + ca） = （a+b —c） 2 —2（ab—bc —ca） =„1 + sin2a =1 + 2sina cosa =（sina +cosa ） 2 ；1 1 1x2 + =（x+ ） 2 —2=（x— ） 2 +2 ； …… 等等。
x 2 x x常用的基本配凑策略如下： 把结论（或等式左边）变形，凑出题设（或等式右边）形式，以方便利用已知条件 把题设（或等式左边）变形，凑出结论（或等式右边）形式，以从中推出结论 把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式右边）变形，凑出变形后的题设（或等式 左边）形式1配凑法在化简求值中的应用3 _ 31 1 x 2 + x _ 2 + 2例.（高一）设X 2 + X _ 2 = 2，求 的值x_x_1 +31 1小解：设X 2二y,则由已知可得y + = 2 ,y3 _ 3X 2 + X 2 + 2x 一 x _i + 31y3 + + 2y31 __-y2 + + 3y2(y + )3 _ 3y _ + 2y y(y + X)2 _2 + 3y点评：本题是把把题设(或等式左边)先变形，再把结论(或等式左边)变形，凑出变形后 的题设(或等式右边)形式2．配凑法在恒等式和不等式证明中的应用3．配凑法在方程中的应用pq例.(高二)设方程x2 +kx+2=0的两实根为p、q,若()2 +( ) 2 W7成立，求实数kqp的取值范围解：方程x2 +kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得：p + q=—k, pq = 2 ,p q p 4 + q4 (p2 + q2)2 一 2p2q2 [(p + q)2 一 2pq]2 一 2p2q2( )2 +( ) 2 = = = =q p (pq)2 (pq)2 (pq)2(k2 _ 4)2 _ 84 W7,解之得kW— v 10或k三plO 。
又因为p、q为方程x 2 +kx+2=0的两实根，△=*2 —8三0 即 k三2 %2 或 kW—2*2 ,综上所述，k的取值范围是：一玄10 WkW — 2匹 或2•迈WkW J币点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“ A”；已知方程有两根时， 可以恰当运用韦达定理本题由韦达定理得到p + q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联 想到先通分后配方，表示成p + q与pq的组合式假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使 有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为 注意和重视4．配凑法在二次函数中的应用例.(高一)函数y=log_ ( —2x2 +5x+3)的单调递增区间是 12A.(―伞 亍] B.[亍，+8) C. (— 1, 5] D. [$,3)4 4 2 4 4解：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解5．配凑法在数列中的应用1 2 4 2n例.(咼二)求和 + + 1 1 + X 1 + X2 1 + X4 1 + X 2n分析：通分、拆项等技巧对本题均不适用，我们在进行分式运算时曾用过“逐项累加”的技 巧，受此启发，如果把原题再配上一项亠，就可以进行累加了。
1 _ X1 1 2 4 2n 1解：原式= + + + +…+ 一 一1 + X 1 _ X 1 + X 2 1 + X 4 1 + X 2n 1 _ X2 2 4 2n 1= + + + .…+ 一 1 _ X 2 1 + X 2 1 + X 4 1 + X 2n 1 _ X2 n+11 — x 2"+i 1 — X点评：本题通过添项凑出能逐项累加的形式6．配凑法在复数中的应用ab例.（高三）设非零复数a、b满足a 2 +ab+b2 =0，求（ ）1998 + （ ） 1998a +b a +b a a a分析：把已知式两边同时除以b 2变形为（）2 + （〒）+1 = 0，贝I」—（W为1的立 b b b方虚根），再把已知式配方为（a+b） 2 =ab，把二者代入所求式即可得解aa解法一：把 a2 +ab+b2 =0 变形为（）2 + （丁）+1 = 0 ,bba 1 b —设3=〒，则3 2 +W +1=0，可知3为1的立方虚根，所以 一=—,W 3 =①3 =1 , b w a又由 a2+ab+b2=0 变形得： (a+b) 2=ab ，a b a 2 b2 a b所以( )1998 + ( ) 1998 =(〒)999 + (〒)999 = (丁) 999 + ( — ) 999 = 3 999 +a + b a + b ab ab b aw 999 = 2 。
点评：本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1 的立方虚根，活用3的性质，计算表达 式中的高次幂一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开如果未联想到 w = — 1 土丘，可以用下面的解法：2后，化成a a b — 1 ± J3i解法二：把 a2 +ab+b2 =0 变形为（）2 + （丁）+1 = 0，解出一=b b a 2ab三角形式，代入所求表达式的变形式（三）999 + （—）999，再完成后面的运算baa 2 + ab + b 2 = 0 解出 a =解法三：假如本题没有想到以上一系列变换过程，还可由2 b，代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成 最后的计算—1 ± p3i7．配凑法在三角中的应用x x x sin x例.（高一）求证：cos^cos万cos =2 4 8 x8sm —8c • 人 凡 凡 凡 .. 儿 儿8sm cos —cos —cos 4sm cos —cos —8 8 4 2 4 4 2解：左边= - = ——8sin 工 8 sin —8 8xxsin x8sin -8=右边2 sm cos2 28sin -88．配凑法在立体几何中的应用例.(高二)已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条 对角线长为 _。
A. 2J3点评：本题是把等式左边变形，凑出等式右边的形式(凑出右边的分母)B. 714C. 5 D. 6f 2( xy + yz + xz) = 11 分析：设长方体长宽高分别为 x,y,z，则]4(丄 丄)24 ,而欲求对角线长[4( x + y + z) = 242 + y2 + z2，将其配凑成两已知式的组合形式可得解：设长方体长宽高分别为X,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和f 2(xy + yz + xz) = 11为24”而得：仁(丄丄)24I 4(x + y + z) = 24长方体所求对角线长为：Yx2 + y2 + z2 = 丫(x + y + z)2 - 2(xy + yz + xz)=空62 -11 =5所以选Bo 点评：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解9．配凑法在解析几何中的应用例.(高三)方程x 2 +y 2 —4kx — 2y+5k = 0表示圆的充要条件是 A. 1
解：x3 + 2x2 + x +1 = x(x2 + x — 1) + (x2 + x — 1) + x + 2 = x + 2 ,x2 + x 一 1 = 0 可得 x =x3 + 2x2 + x +1 =2 点评：本题关键在于把结论变形，使之出现条件的形式但本题并不能用题设的形式来全部 表示结论，只是化简结论， 使其后的计算变得比较简单2. (高三)已知方程x 2 +(a-2)x+a-l=0的两根x、x，则点P(x ,x )在圆x 2 +y 2 =4 上,1 2 1 2 求实数a答案：3—^113. (高一)如图：开口向下的抛物线y = ax2 + 4ax + c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A在x轴的正半轴，点B在x轴的负半轴，点C 在 y 轴的正半轴，且 BO=OC 1)求证： 4a— ac=1；(2) 如果点 A 的坐标为(2， 0)，求点 B 的坐标(3) 在(2)的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在 点P,使APAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由答案：( 1)略 ( 2) B( 6， 0) ( 3)存在 P(— 2， 4)4. (高三)在正项等比数列｛a ｝中，a・a +2a・a +a -a =25，则a +a = 。
n 1 5 3 5 3 7 3 5解：利用等比数列性质a a =a 2，将已知等式左边配方(a +a ) 2后易求答案m—p m+ p m 3 5是： 55. (高三)求5-12i的平方根 提示：使用配方法[结果为土 (3 - 2i)]高一)已知tg0 = .-2，求cos0 + sin 9cos0 一 sin9的值解：由 tg9 = “2 可知cos9丰0 ,cos9 + sin 9cos9 + sin9 _ cos9cos9 - sin9 cos9 - sin9cos91 + tg91 — tg91 +迈1 —迈点评：本题是把结论变形，p7.(高一)设 ctga =,q凑出题设形式p cos a — q sin ap cos a + q 。
