初中数学竞赛标准教程及练习50基本对称式.doc

初中数学竞赛精品标准教程及练习(50)基本对称式一、内容提要上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质.形如x+y和xy是两个变量x, y的基木 对称式.含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式來表示.2 2 v X例如 x2+y2, x"+y[ (2x —5)(2y—5), — , ― + ― 都是含两个变量3x 3y x y的对称式，它们都可以用相同变最x,y的基木对称式来表示： x2+y2= (x+y) 2—2xy, x'+y'= (x+y) 3 —3xy(x+y),2 2 2(x+y)(2x —5)(2y—5)=4xy— 10(x+y)+25, — 二一 、3x 3y 3xyy x y + 兀一 (x + yY -2xy—H = = .兀 y xy xy设 x+y=m, xy=n.则 x2+y2= (x+y) 2—2xy=m2—2n；x3+y3= (x+y) 3 — 3xy(x+y)=m3 — 3mn；x4+y4= (x2+y2) 2—2x2y2 = m4—4m2n+2n2；x5+y5= (x2+y2) (x3+y3)—x2y2(x+y)=m5—5m3n+5mn2；一般地，xn+yn (n为正整数)用基木对称式表示可建立递推公式：xk+1 +yk+1 =( xk+yk)(x+y)—xy(xk~1 +yk_ 1) (k 为正整数).含x, y的対称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.二、例题. 已知x=-(V3+l),尸丄(巧一1)求下列代数式的值：2 2@x3+x2y+xy2+y3 ； ®x2 (2y+3)+『(2x+3).解：・・•含两个变量的対称式都可以用和同变量的基本对称式來表示.二先求出x+y= a/3 , xy= —.2① x3+x2y+xy2+y3 = (x+y) 3 —2xy(x+y)=(V3 )3—2 X 丄2=2a/3 ；② x2 (2y+3)+yY2x+3)=2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y) =3 L(x+y) 2—2xy] +2xy(x+y)兀3 +),，3 二 35①x + y = 5②分析：可山x'+y‘, x+y求出xy,再由基本对称式，求两个变量x和y. 解：Vx3+y3,= (x+y) 3—3xy(x+y) ③把①和②代入③，得35=53-15xy./. xy=6 ・解方程组x + y = 5xy = 6或「2例3. 化简 #20+ 14血 + #20-1".解：设^20 + 1472 =x, ^20-1472 =y.那么 x3+y3=40, xy=V400-196x2=2.*/x3+y3 = (x+y) 3_3xy(x+y),•I 40= (x+y) 3 —6 (x+y).设 x+y=u,得 u3—6u—40=0 . (u—4)(u2+4u+ 10)=0.Vu2+4u+10=0没有实数根，/.u—4=0, u=4 .x+y=4.即 ^20+1472 + ^20-1472 =4.例4. a取什么值时，方程x2-ax+a-2=0的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为X], X2.根据韦达定理，得严L[X]X2 = a-2・・° X{ - X2 - J(X] _兀2)2 = J(兀]+ 兀2)2 _4兀]兀2 = -4a + 8= 2)2+4,・••当a=2时，|x, -x2|有授小值是2.三、练习501・ 己矢U X—y=a, xy=b・ 贝＞J x2+y2= : x3—y3= ・2.若 x+y=l, x2+y2=2. 贝lj x3+y3= ； x5+y5= 3.则k=x y如果 x+y=—2k, xy=4. — — = 3. y兀4.已知x+ —=4,X那么X--X5.若-yfx H—产.=a,另B 么 x—=a/X 兀6.Cl 矢口 ： a= -j=,2-V3求： ①7a2+llab+7b2 ；② a3+b3-a2-b2-3ab+l.21.已知坂+厶=8,则* +1Q x8. 已知 a2+a—1=0 则a‘一亠= .a9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5,两根积是2,则这个方程可写成为:1 o.化简： ①V2+V5+V2-V5 ； ②V5V2+7-V5V2-7 ・11.已知：a, B是方程ax2+bx+c=0(a^0)的两个根.2c $求证：« 2 (bB+c) +3 2(ba +c)=——・a三、练习50参考答案：1. a2+2b, a3+3ab2. 2.5, 4.753. ±754. 2希或一2a/3 , 14,525. a2-2, a4-4a2+26. 109,367. 628. -49. x2 ±3x+2=010.①1, ②2运川韦达定理，把左边式了化为基木对称式表示扫描下面二维码，加关注，索取全套题库!。