高考数学理一轮知识点专题讲座：线面、面面垂直的判定与性质含答案.doc

高考数学精品复习资料 2019.5【名师面对面】20xx届数学一轮知识点讲座：考点40线面、面面垂直的判定与性质（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标线面、面面垂直的定义、判定定理与性质定理及应用.二．知识梳理1.线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直,其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α2.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3.直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式： 5.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： 注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用6.两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7.两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直推理模式：，8.两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面推理模式： 9.向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直三．考点逐个突破1.线面位置关系的判定例1.（1）设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为(　　)A．3　　 　　B．2　　 　　C．1　　 　　D．0[答案]　C[解析]　⇒α⊥β； l∥β，此时可能l⊂β，⇒/ l⊥α，此时l与α还可能平行、斜交，故选C.(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，m⊂α，则l⊥mC．若l∥α，l∥m，则m∥αD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案]　B[解析]　直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或异面．（3）若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中的真命题有(　　)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个[答案]　C[解析]　①中α与β可能平行，故①错，②③正确．2.线面垂直的判定与性质例2. 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．[解析]　(1)由条件知PDAQ为直角梯形．因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3，由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.3.面面垂直的判定与性质例3. (1)已知点P是菱形ABCD外一点，∠DAB＝60°，其边长为a，侧面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF⊥平面ABCD.并证明你的结论．[分析]　(1)要证AD⊥PB，∵△PAD为正三角形，G为AD中点，∴AD⊥PG，故只需证明AD⊥平面PBG即可．(2)假设存在点F使平面DEF⊥平面ABCD，则平面DEF必过平面ABCD的垂线，由于PG⊥平面ABCD，而PG不可能在平面DEF内，故需过直线DE作平面PBG的平行平面，由此可得点F的位置．[解析]　(1)证明：连接BG、PG.∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°.∴BG⊥AD.又△PAD为正三角形，且G是AD中点，∴PG⊥AD.∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(2)当F是PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，BG∥DE.∴平面DEF∥平面PGB.∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD.∴PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB.∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.(2) 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.[证明]　(1)如图所示，取EC中点F，连接DF.∵EC⊥平面ABC，BD∥EC，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，∵BD∥EC，BD＝EC＝FC，∴EC⊥BC.∴四边形FCBD是矩形，∴DF⊥EC.又BA＝BC＝DF，∴Rt△DEFRt△ADB，∴DE＝DA.(2)如图所示，取AC中点N，连接MN、NB，∵M是EA的中点，∴MN//EC.由BD//EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN.∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA.又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM⊂平面BDM，∴平面ECA⊥平面BDM.4.射影、体积、点面距离问题例4.(1) 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　)A. B. C. D.[答案]　B[解析]　解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AB＝AC.∴AE⊥BC.∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC.∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离．∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝.解法2：VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.又∵A1B＝A1C＝，在△A1BE中，A1E＝＝2.∴S△A1BC＝×2×2＝2.∴VA－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.∴h＝，∴h＝.∴点A到平面A1BC距离为.(2)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)A. B．1 C. D.[答案]　D[解析]　依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴B1B即为所求距离，在△ABB1中得，B1B＝.故选D. 。