
简化行列式计算的几种方法 常素芹.docx
17页拿子巾葩聲悅本科生毕业论文题 目 姓 名 学 号 院 系 专 业数学与应用数学 指导教师 2015 年 6 月教务处制本科生毕业设计(论文、创作)声明本人郑重声明:所呈交的毕业论文,是本人在指导教师指导下, 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外,本论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或没有公开发表的作 品内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体,均 已在文中以明确方式标明本设计创作声明的法律责任由本人承担作者签名:年 月 日本人声明:该毕业论文是本人指导学生完成的研究成果,已经 审阅过毕业论文的全部内容,保证题目、关键词、摘要部分中英文内 容的一致性和准确性,并通过一定检测手段保证毕业设计未发现违背 学术道德诚信的不端行为指导教师签名:年月目录摘要 2关键词 1Abstract 1Keywords 1引言 2一、常用行列式计算方法引言 21.1 化三角形法 21.2 加边法 3二、行列式的几种特殊计算技巧和方法 42.1 拆行(列)法 42.2构造法 62.3“爪”字型行列式 72.4“两线”型行列式 72.5“三对角”型行列式 82.6 范德蒙行列式 9三、行列式的计算方法的综合运用 93.1降阶法和递推法 93.2 行列式与多项式的综合计算 93.3行列式与矩阵的综合计算 103.4 行列式在解线性方程组中应用 11参考文献 13摘要:行列式起源于解二、三元线性方程组,它是高等代数中一个基本概念,而行 列式的应用早已超过了代数的范围,成为研究数学领域各分支的基本工具,本文主 要对行列式的计算方法进行总结归纳,得出与每种计算方法相适应的行列式的特征 并对行列式的应用做一定范围的探讨。
关键词:行列式 技巧 计算方法:The determinant originated in the solution of two or three binary linear equations, itis a basic concept in higher algebra, it has already exceeded the column of the application type algebra range, become the basic tools for the study of mathematics branch, the calculation method of the determinant are summarized, the characteristics of the determinant and adapt to each kind of calculation method the study and application of determinant, a certain range.Keywords: Determinant;skill;Calculation method引言:行列式是高等代数课程中很重要的一章,在解线性方程组、矩阵及三重坐标 变换时都有很重要的作用,鉴于此,我对高代课本上行列式的一些基本解题技巧进 行归纳,并且在此基础上有所创新。
作为行列式本身而言,通过它的定义和性质我们可以找到一些基本解题方法,然 而通过观察我们发现有很多特殊行列式,对多种形式行列式我们通过加边法、降阶 法、拆行法等可以转换为一些常见行列式,这样计算起来简单方便另外,行列式 应用广泛,与数学分析、解析几何等学科有许多交叉点,所以,行列式的运算显得 尤为重要一、常用行列式计算方法《高等代数》课本上根据行列式的定义和性质给出一些基本计算方法,如定义 法、化三角形法、连加法、降阶法、递推法、加边法、数学归纳法、拉普拉斯展开 等,我们下面详细介绍一下化三角形法和加边法,其余方法不再一一赘述1.1 化三角法化三角形法:即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方 法适用于低阶行列式 上三角形行列式的形式如下:aaa •…a111213In0aa •…a22232 n00a •…aa a .・• a ,333n11 22 nn••• ••・ ・•• •■000 …ann下三角形行列式同上三角行行列式注:能够利用化为三角形法则进行计算的行列式的共同特征是每行(列)有尽可能 多的相同的元素.我们利用行列式的性质把某行(列)的倍数加到其它行(列),出现更多 的零,进而化为三角形。
1.2 加边法就是把 n 阶行列式增加一行一列变成 n+1 阶行列式,再通过性质化简算出结果 这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法当然,有的行列式需要升阶两次升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为 0,这样就达到简化计算的效果,其中,添加行与列的方式一般有五种:首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.3222223222例1解行列式D=223222223222223解:使行列式D变成n +1阶行列式,即1-2-2-2-21-2-2…-2-203222110 …0002322=101 …00D =.::::::: ・::02232100 …1002223100 …011 + 2n00 •00010 •00001 •00000 •10000 •01=1 + 2n.二、行列式的几种特殊计算技巧和方法2.1 拆行(列)法拆行(列)法(或称分裂行列式法),就是将所给的行列式拆成两个或若干个行 列式之和,然后再求行列式的值,拆行(列)法有两种情况,一是行列式中有某行 (列)是两项之和,可直接利用性质拆项;二是所给行列式中行(列)没有两项之 和,这时需保持行列式之值不变,使其化为两项和.例2计算行列式Dn1 — aa012—11—aa230—11—a::30000000000001—an—1—1an1—a解:把第一列的元素看成两项的和进行拆列,得1 — a1a20 •…00—1 + 01—aa •…00230 + 0—11 — a •…00::3::0 + 000 •…1—aan—1n0 + 000 •…—11 — aDnn1a0… 00—aa0…00212—11—aa… 0001—aa…0023230—11—a…000—11 —a…00::3, ::+::3, ::000… 1—aa000… 1 —aan—1nn —1n000… —11 — a000… —11 — ann上面第一个行列式的值为 1,所以-11-n-1-11-n-1这个式子在对于任何n(n > 2)都成立,因此有D = 1 — a Dn 1 n -1=1 - a ( - a D 丿二1 2 n — 2二….=1 -a + a a H F(-1》—1 a a …a1 1 2 1 2 n工(—J Hai=1jj=12.2 构造法有些行列式通过直接求解比较麻烦,这时可同时构造一个容易求解的行列式,从而求出原行列式的值。
11例3求行列式D =nx1x21x2x22Xn - 2 Xn - 21 2Xn Xn121XnX2nXn-2nXnn解:虽然D不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造n +1阶的范德蒙德行列式来间接n求出D的值.n构造n +1阶的范德蒙德行列式,得11 ・11XX ・XX12nX 2X 2 …X2X 2f (x )=12n:Xn - 2X n-2 …Xn-2Xn - 212nXn-1X n-1 …Xn-1Xn-112nXnX n …XnXn12n将f(X)按第n +1列展开,得f (x )= Al,n+l+ A x + •…+ A xn-1 + A xn,2, n +1n, n +1 n +1, n +1其中,Xn-1的系数为nnA = (-1)n+(n+1) D = -D .n,n+1又根据范德蒙德行列式的结果知 f(x)= (x-x )(x-x )—(x-X )n C -x ).1 2 n i j1< j












