《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第2章导数及微分,【学习目标】,1.了解导数、微分的概念及导数、微分的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；,2.熟练掌握基本初等函数求导公式及导数四则运算法则；掌握复合函数、隐函数的求导方法；,3.了解高阶导数的定义，会求高阶导数；理解二元函数偏导数的概念，会计算简单的二元函数的偏导数；,4.掌握基本初等函数的微分公式及微分的四则运算法则，会用微分近似公式进行计算.,2.1导数的概念,1.问题的提出,引例1,变速直线运动的速度问题.,设一质点从点出发作变速直线运动，其运动方程为s=s(t).求质点在任一时刻t,0,的瞬时速度，如图2-1所示.,我们知道，当质点作匀速直线运动时，其速度v等于经过的路程s与所用时间t之比，即,设变速直线运动的质点在时刻t0 到 t0+t 内所经过的路程为s，,即,则在时间段t内的平均速度,显然，时间段t越小，质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平均速度v就越接近于质点在t,0,时刻的瞬时速度v(t,0,)，即当t0，平均速度v的极限，便是质点在t,0,时刻的瞬时速度，即,2.导数的定义,定义,设函数y=f(x)在点x,0,的左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量x(x0)(也叫自变量的增量)时，相应函数的改变量(也叫函数的增量),为y=f(x,0,+x)f(x,0,).当x0时，若比值yx 的极限存在，则称函数y=f(x)在点,x,0,处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值，记作f(x0)，即,也记作,如果极限 不存在，则称函数y=f(x)在点x,0,处不可导.,如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.,对每一个x(a,b)，都对应着函数y=f(x)的一个导数值，于是得到一个新的函数f(x)，这个新的函数f(x)称为函数y=f(x)的,导函数,，简称为,导数.记作f(x)，即,显然，函数y=f(x)在点x,0,处的导数值f(x,0,)，就是导函数f(x)在点x,0,的函数值.,由定义知，引例1中，变速直线运动s=s(t)的质点在t0时刻的瞬时速度(,)(,)，引例2中曲线y=f(x)在点M(x,0,y,0,)处切线的斜率k=f(x,0,).,3.导数的几何意义,由引例2知道，函数y=f(x)在点x=x,0,处的导数f(x,0,)，表示曲线y=f(x)上的点M,0,(x,0,y,0,)的切线斜率，这就是导数的几何意义.,如图-3所示，若切线的倾斜角为，则,如果f(x,0,)不存在，即斜率k=tan不存在.当曲线y=f(x)在点M0处连续时，曲线y=f(x)在点M0处有垂直于x轴的切线.,在工程技术上，经常要用到法线的有关知识，把过切点且与切线垂直的直线称为,法线,.,根据导数的几何意义，过曲线y=f(x)上点M,0,(x,0,y,0,)的切线方程为,对应的法线方程为,当f(x,0,)=0时，切线方程为y=y,0,，法线方程为x=x,0,.,.2初等函数的求导法则,1.导数的基本公式,前一节由导数的定义，求出了几个简单函数的导数，但对于较复杂的函数，用定义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法，借助这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的导数基本公式如下：,2.和、差、积、商的求导法则,若函数u=u(x)和v=v(x)都在点x处可导，那么函数u(x)v(x)，u(x)v(x)，,(v(x)0)都在点x处可导，并且,特别地，当u(x)=C(为常数)时，有()().,3.复合函数的导数,如果函数u=(x)在点x处可导，y=f(u)在对应点u=(x)处也可导，则复合函数y=f(x)在点x处可导，且,这个法则可以推广到两个以上的中间变量的情形，如果y=y(u)，u=u(v)，v=v(x)，且它们在各对应点处的导数存在，则,上述公式也叫复合函数求导的,链式法则,.,利用复合函数的链式法则求导时，关键是将所给的复合函数分解成若干个简单的函数，而这些简单函数的导数是可求的.,4.高阶导数,定义如果函数y=f(x)的导数f(x)仍可导，那么f(x)叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y，即,也记作,相应地，()为函数()的一阶导数.,一般地，函数y=f(x)的n1阶导数的导数称为()的n阶导数，记作,二阶及二阶以上的导数称为,高阶导数,.,2.3隐函数及偏导数,1.隐函数的导数,如果对于x值，通过F(x,y)=0都有确定的y值与之对应，那么由方程F(x,y)=0，也就确定y是x的函数.这种函数关系，隐藏在方程F(x,y)=0之中，所以，把由方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数.,如果y能从方程F(x,y)=0中解出，那么隐函数成为显函数y=f(x)，它的导数可按前面方法求出.对于y不能从方程F(x,y)=0中解出的隐函数.,2.偏导数,函数y=f(x)只含一个自变量时，我们把它叫做一元函数.如果有三个变量x、y、z，对于变量x、y，在各自变化范围内的每一组确定的x、y的值，按照某种对应关系，z都有唯一确定的值与之相对应，那么称z为x、y的,二元函数,，记作z=f(x,y).,定义,设二元函数z=f(x,y)在点P,0,(x,0,y,0,)的附近有定义，当自变量y保持y,0,不变，而自变量x有改变量x时，函数相应地有关于x的改变量(偏改变量或偏增量),如果极限,存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处，对x的偏导数，记作,类似地，可以定义函数f(x,y)在点P0(x,0,y,0,)处对y的偏导数，记作,如果函数z=f(x,y)在某个平面区域D内的每一点(x,y)处，对x的偏导数都存在，那么，这个偏导数就是x,y的函数，称它为z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称偏导数，记作,类似地，可以定义(，)对自变量y的偏导数，记作,那么，(x,0,，,)、(x,0,，,)就是偏导数(，)、(，)在点(x,0,，,)处的函数值.,按照对自变量求导次序的不同，可得到以下四个二阶偏导数，分别记作,其中 称为(，)的二阶混合偏导数.以此类推，,可得三阶、四阶、阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为,高阶偏导数,.记,号,与二阶偏导数类似.,2.4函数的微分,1.函数微分的概念,在实际问题中，有时还需要研究函数改变量的近似值.,定义,设函数()在点x,0,处可导，则称(x,0,)为函数()在点x,0,处的微分，记作,x,0,，即,可见，微分有如下特点：,(1)微分,是函数改变量的主要部分，当很小时，可用它近似代替；,(2)微分,x,0,(x0)是的线性函数，以导数(x,0,)为系数，较容易计算.,根据微分的定义，得,也就是说，自变量的微分就是自变量的改变量，即,通常，把函数()在处的微分()写成,从而,就是说，函数的导数等于函数微分与自变量微分之商.因此，导数也叫做,微商,，函数可导也叫做,函数可微,，反之亦然.,2.微分的基本公式和运算法则,由于函数微分等于函数导数与自变量微分之积，因此容易得到如下的微分公式和运算法则.,由导数的基本公式，可得微分的基本公式如下：,如果函数()，()在点处都可微，那么、,/,()在点处也可微，且,3.复合函数的微分,当()及()都可导时，由微分定义及复合函数求导法则，可得函数()的微分为,()(),由于(),所以,这说明，不论是自变量还是中间变量，函数()的微分形式都是,4.微分在近似计算中的应用,由前面讨论可知，如果函数()在x,0,处可微，当很小时，有近似公式,或者,令x,0,，则,。