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第一章 数学学习的一般原理数学学习的本质一、数学学习的一般含义：数学学习是个体为适应数学知识的发展变化而进行的一种认知活动数学学习的过程是个体的数学认知结构的组织和再组织的过程主客体相互作用是数学学习发生的客观基础；个体的反映活动及其数学认知结构的变化，是数学学习发生的内在机制；个体数学思维方式的变化则是数学学习发生的外在表现数学学习由数学活动经验的获得并引起相应的数学思维方式变化而体现 数学活动经验是主体对客体数学知识的反映，其获得是在主客体相互作用的过程中发生的 数学认知结构的构建过程，就是使数学事物之间联系的可能性空间由大变小、逐渐明确精细的过程，也就是使数学知识之间建立联系、获得数学活动经验的过程数学学习的实质：数学认知结构的构建过程 二、数学学习的一般机制n 数学学习的发生机制 （1）数学学习情景的变化作用其变化的新异程度必须与学生已有数学认知结构的发展水平处于适度的关系，产生的效应应处于学生的最近发展区 （2）数学学习的需要决定新异情景的意义，是新异情景能否成为“有效刺激”，从而“激活”数学活动的关键 （3）数学学习的目的指引数学活动方向的决定性要素n 数学学习的进行机制 加涅的信息加工模型（P6-P7）：从宏观上描述了学习进行的大致过程，对各阶段具体细节没有进行论述。

讨论:运用信息加工模型，结合具体小学数学内容，尝试描述具体的数学学习过程 n 数学学习的终结机制 学习的终结是对某个具体的数学学习活动而言的，并不针对数学知识的习得，更何况数学学习是一种螺旋上升的活动数学学学习目标是否达成由反馈环节控制 数学学习的分类 一、认知心理学关于学习分类的研究n 加涅的学习结果分类理论 加涅运用现代信息论的观点和方法，在综合行为主义和认知心理学的基础上加以创新，提出五种学习结果: 言语信息、智力技能、认知策略、动作技能、态度n 布卢姆的教学目标分类理论 布卢姆将教学目标分为认知、情感和动作技能三大领域动作技能涉及骨骼和肌肉的运用、发展和协调在实验课、体育课、职业培训、军事训练等科目中，这常是主要的教学目标数学学习的“接受——建构”说1. 自学课本 2.谈谈自己对这个观点的认识数学学习与数学思维的发展 一、数学学习与数学思维发展的关系n 数学思维发展对数学学习的制约作用数学学习依赖学生数学认知结构（数学思维）的发展水平，如果提出的学习要求超越了学生的思维发展阶段，学习效果就无法保证n 数学学习对数学思维发展的促进作用 数学学习的实践活动水平是衡量学生数学思维水平的唯一标准； 数学学习实践为学生提供丰富的感性材料和实践经验，通过对它们的抽象、归纳和概括发展学生的数学思维； 数学学习也是所习得数学知识的应用过程，该过程可使知识得到进一步概括，进而导致数学思维产生质变。

n 数学学习与数学思维发展互为条件，相互促进 学生的数学思维如何发展、向哪里发展，主要由适合于他们的思维发展水平的数学学习活动决定 数学思维发展的水平对数学学习的影响，观点并不一直 例如，加涅认为新的学习必须以先前的学习为基础；而布鲁纳则认为“任何学科的基本原理都能以某种形式教给任何年龄的任何人无论哪里，在知识的尖端也好，在三年级教室也好，智力的活动全都一样 你的看法呢？ 二、学生数学思维发展的特点（自学p22-p23）三、数学思维方式（补） （一）思维思维的含义：思维是人脑对客观现实的概括的、间接的反映，是一种的高级认识活动思维的种类： 1、根据解决问题的思维形式分类： 感知动作思维：以实际操作来解决直观的、具体的问题0-3岁 具体形象思维：以心象（表象）进行的思维3-7岁 抽象逻辑思维：运用概念进行判断、推理的思维过程 6-12岁：形象抽象思维（具体形象思维向抽象思维过渡） 11-15岁：经验型思维（以经验为主的抽象逻辑思维） 14-18岁：理论型思维（以理论为主的抽象逻辑思维） 2、根据思维探索答案的方向： 聚合式思维和发散式思维（后面细讲） 3、根据思维的独创性 常规思维：按现成方案进行问题解决的思维 创造思维：产生新的思维成果的思维，具有独创性思维发展的关键期：初二年级，从经验型思维向理论型思维转化。

思维发展的成熟期：高一至高二阶段，稳定性 （二）数学思维 含义：数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动 数学思维是一个从外感到内化的交互作用过程，是认知主体将外部材料转化为内部材料的信息增殖过程，也是从感性认识上升到理性认识、从感性材料转化为理性材料以及理性材料不断纯化和多样化的前进过程 特点：概括性、问题性（三）数学思维方式思维方式：是内化于人脑中世界观和方法论的理性认识方式，是体现一定思维心智方法和思维内容的思维模式数学思维方式：就是在数学思维过程中，主体进行数学思维活动的相对定型、相对稳定的思维样式它是数学思维心智方法与数学思维形式的统一，并且通过一定的数学思维内容体现出来 数学思维方式的分类： 按照思维活动组织思维内容的形式，分为： 1、逻辑思维（概念、判断、推理） 2、 形象思维（表象、直感、想象） 3、直觉思维（知觉、灵感） 按照思维的指向，分为：集中思维（定向思维和纵向思维）、 发散思维（逆向思维、横向思维、多向思维） 按照思维品质之独创性，分为：再现性思维和创造性思维数学思维的心智操作方法： 数学思维过程中运用的基本智力手段 1）观察与实验 2）比较、分类、系统化 3）归纳推理 4）分析与综合 5）抽象与概括 6）联想与猜想数学思维的品质： 衡量主体思维发展水平的重要标志：流畅性（广阔性和敏捷性）、 灵活性、批判性、深刻性、 独创性。

（四）数学思维的心智操作方法 1、观察与实验 观察：数学思维过程中必需的、首要的方法 实验：数学思维间接的却是基本的方法 操作性实验：实质是利用内部智力技能操作与外在物化操作的同构性 思想实验：按照真实实验格式展开的一种复杂的思维活动 2、比较、分类与系统化 比较：就两种或两种以上同类的事物辨别异同比较是概括和分类的基础； 通过比较和分类的心智操作，知识得以系统化 3、分析与综合分析：在思想上把整体分解为部分，把复杂的事物分解为简单的要素，分别加以考虑的心智操作 综合：在思想上把对象的各部分和各种因素联结起来考虑的心智操作 4、抽象、概括与具体化 抽象：在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的心智操作过程 概括：概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属性的思维过程 抽象和概括实际上是在比较基础上进行的更为高级的分析和综合， 具体化：与抽象相反的心智操作 5、联想与猜想 联想：联想是以观察为基础，对研究对象的特点，联系已有的知识和经验进行想象的心智操作方法。

联想是一种自觉的和有目的的想象 联想的关键在于认识事物或对象间的联系，是进行类比、归纳、猜测等的基础 猜想：猜想是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程是发现性和创造性学习过程中的重要的思维操作方法在培养小学生的数学思维过程中，哪些是主要的心智操作方法，为什么？） （五）具体数学思维方式的含义及特点 1、集中思维与发散思维 集中思维（聚合思维、收敛思维）：指调动各种信息（已知的或回忆的），按照常规习惯寻求解决问题、整理知识或总结方法的思维方式 （1）特点 思路集中，所有信息都朝向一个目标深入发展，以生成新信息 在思维方向上具有定向性、层次性和聚合性；在思维内容上具有求同性和专注性 通常较多采用分析、综合、概括等思维心智操作方法 （2）分类 1）定向思维（正向思维）： 连续性、渐进性和联结性 由定向思维所造成的思维的趋向性或专注性的状态就称为思维定势 思维定势有正迁移和负迁移作用 2）纵向思维把思维目标沿着逐步深入的方向分成若干前后联系的小目标（中途点或环节），通过小目标的逐个解决达到解决大目标的思维方式。

思维的连续性、渐进性和联结性，但更强调思维环节之间的层次性和因果性讨论：定向思维与纵向思维的区别？）发散思维 （1）特点 思路广阔、寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散、派生以形成各种新信息 在思维内容上，具有变通性和开放性；在思维方向上，具有逆向性、侧向性（横向性）和多向性2）分类 逆向思维：是发散思维的重要形式 思维过程的间断性、突变性和反联结性 侧向（横向）思维：数形结合等 多向思维：在数学课堂教学中，多向思维过程主要有三种基本体现形式：一题多解、一法多用、一题多变 2、逻辑思维、形象思维和直觉思维 抽象逻辑思维 （1）含义： 以词语过程进行表达，以概念、判断、推理为其基本形式，以比较与分类、抽象与概括、分析与综合等逻辑方法为其基本心智操作方法的思维方式 逻辑思维是数学思维的核心 （2）基本形式 1）概念：是事物本质属性的反映，逻辑思维最基本的思维形式数学概念形成的思维过程：（对多个数学对象进行）感知辨认——（在人脑中形成）个别表象——（通过）思维加工（从若干思维表象）分化（出它们的）各种属性——（再通过）比较（得出）共同属性——形成一般表象——（并在思维的）抽象概括下，确认（此类事物）本质属性——（最后通过）词语表达形成概念——（部分可）简化为符号形式。

2）判断：是逻辑思维在概念基础上的发展，表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式 数学中的判断又称为数学命题，是用语言、符号或式子表达数学判断的语句如公里、公设、定理等就是真实的数学命题3）推理：从一个或几个已知判断推出另一个判断的思维形式是对判断间逻辑关系的认识 数学推理指由已知的数学命题得出新命题的思维形式，是严格推理，即每前进一步都有依据，由此探寻数学中的各种因果关系，表现出数学逻辑思维的严谨性 最常用数学推理包括演绎推理和归纳推理 形象思维 （1）含义： 依靠对形象材料（指客观事物的整体在人脑中形成的表象）的意识领会得到理解，以表象、直感和想象为其基本形式，以观察与实验、联想、类比、猜想等为其基本心智操作方法的思维形式 形象思维是数学思维的先导2）数学形象思维的基本形式 1)表象：人们对当前没有直接作用于感觉器官的、以前感知过的事物形象的反映 个别表象 一般表象 数学表象 表象的两个重要特征： 直观性：指表象中重现的事物形象具有一定程度的生动逼真性，与客观事物本身相近似，有“如见其形”之感 概括性：指表象所包含的内容，是同类事物主要的表面特征综合的结果。