复变函数与积分变换第三章.ppt

第三章第三章　复变函数的积分复变函数的积分& 1. 有向曲线有向曲线& 2. 积分的定义积分的定义& 3. 积分性质积分性质& 4. 积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法§3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1. 有向曲线有向曲线A(起点起点)B(终点终点)CCC逐段光滑的简单闭曲线简称为围线逐段光滑的简单闭曲线简称为围线. . 2. 积分的定义积分的定义定义定义DBxyoA  3. 积分性质积分性质由积分定义得：由积分定义得：证明证明而而C之长为之长为2,根据估值不等式知根据估值不等式知例例4. 积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法定理定理3.1证明证明A 由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得用（）式计算复变函数的积分用（）式计算复变函数的积分,是从积分路径的参数是从积分路径的参数方程着手方程着手,称为称为参数方程法参数方程法.例例 解解直线方程为直线方程为Aoxy这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关Aoxy解解(1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x例例 解解y=x(2) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为积分路径不同积分路径不同,积分结果也可能不同积分结果也可能不同.例例 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为小结小结 求积分的方法求积分的方法例例 解解 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .例如例如 例如例如 练习练习作业•P69•2; 4; §3.2 Cauchy-Goursat定理定理复函积分与路径无关复函积分与路径无关被积函数被积函数的解析性的解析性解析区域的解析区域的单连通性单连通性??—Cauchy 定理定理Cauchy-Goursat定理（定理定理（定理3.2）：）：A DCDC(2)定理中曲线定理中曲线C不必是简单的！如下图。

不必是简单的！如下图DDC推论推论3.2 设设f (z)在单连通区域在单连通区域D内解析，则对任意内解析，则对任意两点两点z0, z1∈∈D, 积分积分∫c f (z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线的曲线C，，即积分与路径无关即积分与路径无关Cz1z0C1C2C1C2z0z1典型例题典型例题例例1 1解解根据柯西－古萨定理根据柯西－古萨定理, 有有思考题思考题应用柯西应用柯西–古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?思考题答案思考题答案(1) 注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”.(2) 注意定理不能反过来用注意定理不能反过来用.& (1). 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念& (2). 积分计算公式积分计算公式2 原函数与不定积分原函数与不定积分 1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由推论知：设由推论知：设f (z)在单连通区域在单连通区域D内解析，则内解析，则对对D中任意曲线中任意曲线C, 积分积分∫c f(z)dz与路径无关，只与路径无关，只与起点和终点有关与起点和终点有关。

当起点固定在当起点固定在z0, 终点终点z在在D内变动内变动,∫c f (z)dz在在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理定理3.3 设设f (z)在单连通区域在单连通区域D内解析，则内解析，则F(z)在在D内解析，且内解析，且 上面定理表明上面定理表明 是是f (z)的一个的一个原函数定义定义3.2 若函数若函数  (z) 在区域在区域D内的导数等于内的导数等于f (z) ，即，即 ,称称  (z)为为f (z)在在D内的原函数内的原函数. 设设H (z)与与G(z)是是f (z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，这表明：这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数的任何两个原函数相差一个常数 (见第二章练习题见第二章练习题7)7)2. 积分计算公式积分计算公式定义定义 设设F(z)是是f (z)的一个原函数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f (z)的不定积分，记作的不定积分，记作定理定理3.4 设设f (z)在单连通区域在单连通区域D内解析，内解析， F(z)是是f (z)的一个原函数，则的一个原函数，则A 此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强例例1 计算下列积分：计算下列积分：解解1) 解解2)例例3 计算下列积分：计算下列积分：小结小结 求积分的方法求积分的方法定理（复合闭路定理）：定理（复合闭路定理）：3 复合闭路定理复合闭路定理—定理的推广定理的推广证明证明Dc1c2L1L2L3AA’EE’FF’GHA 此式说明一个解析函此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它作连续变形而改变它的积分值，只要在变的积分值，只要在变形过程中曲线不经过形过程中曲线不经过的的f(z)的不解析点的不解析点.D CC1C1C1—闭路变形原理闭路变形原理根据复合闭路定理即定理可知根据复合闭路定理即定理可知, 解解C1C21xyo例例解解C1C21xyo练习练习作业•P69•7(2)(3); 9;10(1)(3)§3.3 CauchyCauchy积分公式及其推论积分公式及其推论 1 1）通过两个二元实变函数的积分来计算；）通过两个二元实变函数的积分来计算； 1 1. .复变函数积分的计算复变函数积分的计算预备知识预备知识 2））化为参变量的定积分来计算；化为参变量的定积分来计算； 2 2. .复变函数积分的性质复变函数积分的性质3 3. .柯西积分定理柯西积分定理4 4. .复合闭路定理复合闭路定理————柯西定理在多连域的推广柯西定理在多连域的推广5 5. .闭路变形原理闭路变形原理————复合闭路定理的特例复合闭路定理的特例分析分析DCz0C1DCC1猜想积分：猜想积分：z0定理定理( (Cauchy 积分公式积分公式) )证明证明DCKzz0R根据闭路变形原理根据闭路变形原理, 该积分的值与该积分的值与R无关无关, 所以只有所以只有在对所有的在对所有的R 积分值都为零时才能任意小。

证毕积分值都为零时才能任意小(1) 函数在函数在C内部任一点的值可以用它在边界上的内部任一点的值可以用它在边界上的 值表示值表示, 从而得到解析函数的一个积分表达式从而得到解析函数的一个积分表达式 A 关于公式的说明关于公式的说明: :(2) 提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法 c. 若被积函数在若被积函数在C内部有两个以上奇点，则需内部有两个以上奇点，则需先应用复合闭路定理，再用柯西积分公式先应用复合闭路定理，再用柯西积分公式A 推广及其应用推广及其应用一个解析函数在圆心处的值一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值等于它在圆周上的平均值平均值定理：平均值定理：例例1解解例例2解解CC1C21xyo课堂练习课堂练习答案答案小结与思考小结与思考一公式一公式-----柯西积分公式柯西积分公式两用途两用途(重点重点) -----1.计算闭路复积分；计算闭路复积分； 2.解析函数积分表达式解析函数积分表达式推广及应用推广及应用思考：思考： 今后遇到闭曲线上的复变函数积分今后遇到闭曲线上的复变函数积分, 应先想到什么？应先想到什么？ 2 解析函数的高阶导数公式解析函数的高阶导数公式 一个解析函数不仅有一阶导数一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数而且有各高阶导数, 它它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一这一点和实变函数完全不同点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间它的导数在这区间上是否连续也不一定上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了更不要说它有高阶导数存在了.形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。

以下将对这些公式的正确性加以证明定理定理证明证明 用数学归纳法和导数定义用数学归纳法和导数定义一个解析函数的导数仍为解析函数一个解析函数的导数仍为解析函数例例1解解例例2 2解解例例3 3解解根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式,3 刻划解析函数的第二个等价定理刻划解析函数的第二个等价定理证明证明充分性充分性为为P28定理定理必要性必要性 条件条件2的必要性已由的必要性已由P26定理得出定理得出,由解析函数的无穷可微性由解析函数的无穷可微性,作业•P70•15；16(1)(2) 调和函数在流体力学和电磁学，传热学理论等调和函数在流体力学和电磁学，传热学理论等实际问题中都有重要应用实际问题中都有重要应用§3.4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系定义定义3.31.调和函数调和函数定理定理3.10证明：证明：设设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则注：注：逆定理显然不成立，即逆定理显然不成立，即 对区域对区域D内的任意两个调和函数内的任意两个调和函数 u, v, 不一定是解析函数不一定是解析函数 .例如：例如：是解析函数，是解析函数，不是解析函数。

不是解析函数现在思考反过来的问题：现在思考反过来的问题：定义定义2. 共轭调和函数共轭调和函数注注如如已知共轭调和函数中的一个，可利用已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程方程求得另一个，从而构成一个解析函数求得另一个，从而构成一个解析函数3. 解析函数的构造解析函数的构造上面定义说明：上面定义说明：解析函数的虚部为实部的共轭调和函数解析函数的虚部为实部的共轭调和函数曲线积分法曲线积分法(与路径无关与路径无关)类似地，类似地， 然后两端积分得，然后两端积分得，例例1解解曲线积分法曲线积分法故故A 又解又解偏偏积积分分法法又解又解不不定定积积分分法法又解又解凑凑全全微微分分法法例例1 作业•P71•18, 22(2)(4)。