小学思维数学讲义：平面五大模型之任意四边形、梯形与相似模型(一)-带详解.docx

s7ABEADE任意四边形、梯形与相似模型（一） 例题精讲板块一任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：DAs21Os4Bs3C① S : S =S : S 或者 S ´S =S ´S ② AO : OC =(S+S ):(S+S1 2 4 3 1 3 2 4 1 2 43)蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例 1】 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形 的面积分别是 6 公顷和 7 公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？D676 CEAB【考点】任意四边形模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 在 ABE ， CDE 中有 ÐAEB =ÐCED ，所以 ABE ， CDE 的面积比为 ( AE ´EB ) : (CE ´DE ) ．同 理有 ADE ， BCE 的面积比为 ( AE ´DE ) : ( BE ´EC ) ．所以有 S × S = S × S ，也就是ABE CDE ADE BCE说在所有凸四边形中，连接顶点得到 2 条对角线，有图形分成上、下、左、右 4 个部分，有：上、 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即 S ´6 = S ´7 ，所以有 ABE 与 ADE 的面积ABE ADE7 6比为 7 : 6 ， S = ´39 =21 公顷， S = ´39 =18 公顷．6 +7 6 +7显然，最大的三角形的面积为 21 公顷．【答案】21【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、 BD 分成四个部分 AOB 面积为 1 平方 千米 BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92 平方千 米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？CBOA D【考点】任意四边形模型 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】小数报【解析】 根据蝴蝶定理求得 S =3 ´1 ¸2 =1.5 平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是 1 +2 +3 +1.5 =7.5 平AOD方千米，所以人工 的面积是 7.5 -6.92 =0.58 平方千米【答案】0.58【例 3】 一个矩形分成 4 个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的 15％，黄色三角形的面1( )( )DABD DBCDDAOD DDOC积是 21 平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？黄绿15%【考点】任意四边形模型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第 7 题【解析】 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的 50％，而绿色三角形面积占矩形面积的 15％，所以 黄色三角形面积占矩形面积的 50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是 21 平方厘米，所以矩形面 积等于 21÷35％＝60(平方厘米)【答案】60【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面 积；⑵ AG : GC =？A1D2G3BC【考点】任意四边形模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 ⑴根据蝴蝶定理， S ´1 =2 ´3 ，那么 S =6 ；BGC BGC⑵根据蝴蝶定理， AG : GC = 1 +2 : 3 +6 =1: 3 ．【答案】 1:3【例 4】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示)．如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的1面积的 ，且 AO =2 ， DO =3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的_________倍．3ADADGOHOBCBC【考点】任意四边形模型 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条 件 S : S =1:3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已ABD BCD知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形”，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比．再 应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵ AO : OC =S : S =1:3 ，∴ OC =2 ´3 =6 ，∴ OC : OD =6:3 =2:1 ．DABD DBDC解法二：作 AH ^BD 于 H ， CG ^ BD 于 G ．1 1 1 1∵ S = S ，∴ AH = CG ，∴ S = S ，∴ AO = CO ，∴ OC =2 ´3 =6 ，3 3 3 3∴ OC : OD =6:3 =2:1 ．【答案】2 倍【例 5】 如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， △CEF 、 △OEF 、 △ODF 、 △BOE 的面积依次是 2、4、4 和 6．求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积．ADOGFBE2CDGCEDCEFDABC DACDDABDDDBC【考点】任意四边形模型 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 ⑴根据题意可知， △BCD 的面积为 2 +4 +4 +6 =16 ，那么 △BCO 和 DCDO 的面积都是16 ¸2 =8 ， 所以 △OCF 的面积为 8 -4 =4 ；⑵由于 △BCO 的面积为 8， △BOE 的面积为 6，所以 △OCE 的面积为 8 -6 =2 ，根据蝴蝶定理， EG : FG =S : S =2 : 4 =1: 2 ，所以 S : S =EG : FG =1: 2 ，DCOE DCOF DGCE DGCF1 1 2那么 S = S = ´2 = ．1 +2 3 3【答案】23【例 6】 如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为 ．AADDBBOCC【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】清华附中，入学测试题【解析】 连接 AD 、 CD 、 BC ．则可根据格点面积公式，可以得到 DABC 的面积为： 1 +42-1 =2 ， DACD 的面积为： 3 +3 4-1 =3.5 ， DABD 的面积为： 2 + -1 =3 ．所以 BO : OD =S : S =2 :3.5 =4 : 7 ， 2 2所以 SDABO=4 4 12 ´S = ´3 = ．4 +7 11 11【答案】1211【巩固】如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 ABC 的面积．EDABC【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 因为 BD : CE =2:5 ，且 BD ∥ CE ，所以 DA : AC =2:5 ， S 10【答案】7DABC=5 5 10 S = ´2 = ．2 +5 7 7【例 7】 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE =2 EC ， CF =FD ，求三角形 AEG 的面积．AD ADGGFFB E C B E C【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】人大附中考题【解析】 连接 EF ．因为 BE =2 EC ， CF =FD ，所以 SDDEF1 1 1 =( ´ ´ ) S2 3 2ABCD=112SABCD．3DAEDABCDDAGD DGDFDADFABCDABCDDAGE DAED DAGD ABCD ABCD ABCD 长方形ABCD 长方形ABCDAGD GDFAED 长方形ABCD6BED BCD4 23BFD BEDBFDBEDABCDBFDABCD1 1 1因为 S = S ，根据蝴蝶定理， AG : GF = : =6 :1 ， 2 2 126 6 1 3所以 S =6 S = S = ´ S = S ．7 7 4 141 3 2 2所以 S =S - S = S - S = S = ，2 14 7 7即三角形 AEG 的面积是 2【答案】727．【例 8】 如图，长方形 ABCD 中， BE : EC =2:3 ， DF : FC =1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米，求长 方形 ABCD 的面积．AGDFAGDFBECBEC【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 连接 AE ， FE ．因为 BE : EC =2:3 ， DF : FC =1: 2 ，所以 SDEF3 1 1 1=( ´ ´ ) S = S ． 5 3 2 10因为 S1 1 1= S ，AG : GF = : =5:1 ，所以 S =5 S =10 平方厘米，所以 S 2 2 10AFD=12 平方厘米．因为 SAFD1= S ，所以长方形 ABCD 的面积是 72 平方厘米． 长方形ABCD【答案】72【例 9】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米， E 为 AD 中点， F 为 CE 中点， G 为 BF 中点，求三 角形 BDG 的面积．AED AEDOFG GFBC B C【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 设 BD 与 CE 的交点为 O ，连接 BE 、 DF ．由 蝴 蝶 定 理 可 知 EO : OC =S1 1: S ， 而 S。