拓宽视角 理性辨析 提升能力--“多边形内角和的再探究”教学设计与简析.pdf

2 0 1 7 年 第 1 期中 学 数 学 月 刊拓 宽 视 角 理 性 辨 析 提 升 能 力 ——“ 多边形内角和的再探究” 教学设计与筒析万 荣 庆 （ 江苏省常州市新北区教研室 213022)作者简介作者简介： 万荣庆， 江苏省中小学正高级教师， 江 苏省优秀教科研工作者， 常州市优秀教育工作者.1985 年毕业于徐州师范学院数学系， 5 年高中数学教学， 12 年初中数学教学， 15年初中数学教研员.主持过两项省 级重点课题研究， 有五十多篇数学论文发表于国家级期 刊 ， 其中二十多篇发表于核心期刊， 三篇被人大资料中 心全文转载， 八篇被索引.被青海、 陕西、 山东、 新疆及省 内多地邀请作了近三十场关于课堂转型的讲座.1 基本情况分析 •内容分析“ 多边形内角和”是苏科版七年级数学教材 第七章《 平面图形的认识（ 二） 》 的重要内容之一， 它是学生在学习了三角形内角和之后， 依据七年 级学生的知识经验与认知水平， 进一步利用转化 思想从特殊到一般探究一般多边形的内角和.但 随着学生的数学知识与数学经验的积累， 数学能 力的不断提升， 有必要引导学生对多边形的内角 和从不同的视角进行深度探究， 打开学生数学思 考的视角， 并通过理性的过程辨析， 进一步提升学 生的数学能力.本节课的重点是多边形内角和探 究方法的多样性， 难点是如何判断从《边形分割 到三角形过程中的分割次数及利用数学符号进行 推理.本节课授课对象为九年级学生.•教学目标(1) 进一步了解多边形的内角和的探究方 法 ；2)明晰数学知识的内在联系； （ 3)提升批判 性思维与符号推理能力. 2 教学过程与简析.板 块 1 回忆“ 探 索 边 形 内 角 和 ”的方法问题1 请你画一个W边形乂1乂2—义„， 回忆 “ 探索ra边形内角和”的几种方法.学生独立完成， 同伴说一说.然后学生展示学 过的方法， 教师归纳.教学价值简要分析 学生大都能回顾出七年级学过的如图1 所示的三种不同分割转化方 式.这些分割转化方式正是教材所体现的， 它是从 一个点出发（ 这个点可以是形内点， 也可以是边上图1点， 更可以是图形的一个顶点） ， 将 ra边形直接分 割转化成若干三角形.利用三角形内角和为180° 直观分析得出ra边形的内角和为（ra — 2) X 180°. 在此过程中， 学生能利用分割后图形的特征进行 直观判断每种图形的特征， 并进行严密的数学推 理， 这些转化方式符合七年级学生的认知经验， 并 且简单有序.过渡： 有没有其他方法来探究多边形的内角 和呢？ •板块2 利用分割的图形关系再探究 问 题 2 在 w 边形 A1A2…A „ 中， 连结A1A3,将 ra边形A1A2…A „ 分割可得 到 A A iA zA s和 ra — 1 边形 A1A3…A „ , 那 么，r a 边形 图2A1A2…A „ 内角和与（ ra — 1)边形内角和有怎样的关系？学生独立完成， 同伴说一说.问题2 如果将上述(ra —1)边形A1A3…A „ 继续类似分割后所得的（ra —2) 边形，同样可得 到所得的（ra — 1) 边形内角和比所割出的（ra — 2) 边形内角和多180°， 以此类推， 经过多少次分割后 最后分割出的多边形为三角形？• 4 •中 学 数 学 月 刊2 0 1 7 年 第 1 期教师引导读题后学生独立完成， 同伴说一说. 问题3 那么原来的w边形内角和比最后的 三角形内角和要多多少？ 问题4 上述推理过程中， 若 记 w 边形内角 和 为 ， 一次分割后的（w — 1) 边形内角和为 犺 w — 1， 从上可知， 犺 n—h n -i = 180°.请你把每一次分 割的关系列出.那么， 上述共有多少个等式？（ hn hh180〇 ， hnh„180° ， • • • ,h5犺 4 180°， h4 — h3 =180°.)如果将上述等式相加得会 有怎样的结论？教师引导分析后， 学生尝试独立探究， 教师 归纳.教学价值简要分析 从一般的n 边形人手 进行逐步分割， 虽没有像教材那样将分割一次到 位 ， 但此分割方式突出了所分割出的n — 1) 边形 与原n 边形内角和之间的关系， 突出了 n 边形内 角和与三角形内角和的关系， 并利用这种关系得 出 n 边形的内角和， 这个过程需要学生具有一定 的严密推理能力.同时， 教师又利用关系hn—hn—1 = 180°， 推出hn = ( n —2) X 180°这种符号化能力 对于七年级学生来说要求较高， 但对八年级或九 年级的学生来说， 他们已具备了一定的逻辑推理 能力， 因此随着学生的数学知识与数学经验的积 累， 教师要不断提供学生发展的平台， 逐步进行符 号化能力的培养， 提升学生的抽象数学能力. •板块3 利用延长分割的图形关系再探究问题1 在图3 中， w边 P形 A1A2〜An， 延长 A 3A2， ，-t2 / LAnA 1 交 于 点 P ， 则P A3A4 …An 为（n—1)边形，那 么n边形A1A2…An的内 ~ 1 , 角 和 与（ n — 1)边 形 图3P A3A4…An 内角和有怎样 的关系.上述若A1An //A3A2时怎么办？ 教师引导分析后学生独立完成．问题2 如果将上述(n —1) 边形P A3…An 继续类似延长转化后所得的n —2) 边形， 同样有 (n — 1)边形内角和比所得的（n—2) 边形内角和 多 _.依此类推， 最后得出的多边形为三角形， 这样可以发现原n边形内角和比三角形内角和多 _， 并请你推出n边形内角和公式_.教师引导分析后学生独立完成. 问题3 上述过程中最后一定能得出三角形 吗？该问题可以如何修正？小组交流后教师归纳： 不一定能得出三角形， 修正的方法是将n边形分割至四边形.问题4 会不会还有某一种多边形（ 除四边 形） ， 也找不到可延长的一组边呢？事实上， 除平 行四边形外的多边形都能找到一组可延长相关的 边， 课后同学们继续思考.那么上述问题如何 修正？教学价值简要分析 利用延长将n边形转 化为（n — 1) 边形的转化方式， 是将学生的转化视 野拓宽到了形外， 它充分利用“ 补” 的方式将图形 转化为其他图形， 直至转化到三角形， 这种“ 补” 的方式与前面“ 割”的方式同样能体现一种转化 思想， 能进一步提升学生对图形转化的认识， 思维 更加广宽.同时， 整个过程也是利用n边形内角和 与所割出（n — 1) 边形内角和之间关系， 逐步推导 出n边形的内角和.当然， 在这个过程中， 我们发 现当所割出的图形为平行四边形时， 就不能再用 延长转化的方式进行， 因此， 学生原来的推理是存 在不足的.通过教学分析， 让学生体会到上述推理 的缺憾， 并如何修正这种缺憾， 以此进一步激发学 生思考分析问题， 促使学生的思维更加严谨， 逐步 提升学生的自我分析、 自我监控的批判性能力. •板块4 利用三角形分割或补拼的图形关 系进行再探究问 题 1 假如从最简 单的三角形出发（ 图 4)， 画 直 线Z将A A B C分割成 A B D E和 四 边 形ADEC ,请你算一算四边形ADEC 的内角和比A A B C内角和多独立完成， 同伴讲一讲. 问题2 继续对上述图 形作类似分割（ 图 5)， 这样 四 边 形A D E C分 割 成 AAGH及五边形GHCE犇犇 那么五边形犌犎犆犈犇内角和 的度数比四边形A D E C内 角和多_.依次类推， 容易得出此种分割出的n 边形内角和比前一个所分割成的（ n — 1) 边形内 角和多_， 依次可推出所分割出的n边形内角 和比原：图 4图 5角形内角和多 形内角和为 .,即所分割出的n 边学生独立完成， 同伴查一查. 问题3 从学过的三角形出发逐步分割图2 0 1 7 年 第 1 期中 学 数 学 月 刊形 ， 推导出《边形内角和为（ 《 — 2) X 180°,但在上 述方法中， 对于一般的A A B C ， 你能用上述方法 分割出平行四边形吗？学生独立思考同伴说一说， 教师归纳： 不一定 能分割出平行四边形， 那么所分割出的四边形不 具有一般性， 所以， 这种推理不正确. 问题4 上述推理， 从三角形出发分割得到《 边形， 逆向思考.但这种分割有其特殊性， 所以结 果不具一般性， 也就是这种推理不正确.那么能不 能修正呢？请同学们在一般AABC旁再任意拼上 一个三角形后形成凸四边形ADBC(图6)， 它具有 一般性吗？那么拼出的四边形内角和是多少？学生独立思考同伴说一说. 问题5 继续在四边形ADBC外任意拼上一 个三角形得出的凸五边形具有一般性吗？它的内 角和比四边形内角和多_.依此类推， 最后拼 出的凸《边形具有一般性吗？它比原三角形内角 和多多少？最后拼出的凸w边形内角和是多少？ 学生独立思考， 同伴说一说， 教师归纳： 这种 得出的w 边形具有一般性， 所以得出的内角和 (w — 2) X 180°结论也具有一般性.教学价值简要分析 从一般三角形出发进 行逐步分割， 得到四边形， 再从四边形分割得到五 边形……， 并通过推理得出所分割的w边形与（ w 一 1) 边形的内角和之间关系， 再通过这些关系来 推导出w边形内角和， 这种从逆向角度进行探索 多边形内角和， 思路新颖.但在这个过程中我们发 现， 这种分割并不能分割出平行四边形， 因而这样 依次分割出的四边形、 五边形、 ……w边形都不具 一般性， 所以， 这样分割所得的w边形的内角和结 论也就不具有一般性.通过这样的教学分析， 可以 进一步培养学生在数学学习中的思维严密性.同 时， 在教学分析中， 教师又引导学生利用逆向分析 问题的思维方式， 在一般三角形旁拼上一个三角 形的方式探索w边形的内角和， 进一步体会数学 思维的严密性， 进一步提升学生的自我分析、 自我 监控的批判性思维能力. •板块5 归纳与整理问题1 请你梳理一下探究多边形内角和的方法.学生自我回顾.问题2 在探究过程中应该注意什么？同伴说一说.问题3 课后请你寻找探究多边形内角和是 否还有其他方法.教学价值简要分析 当前的课堂小结形态，大多采用“ 这堂课你学到了什么？”的方式.事实 上， 从课堂的现实状况看， 这种小结方式仅关注了 一些知识点的梳理， 学生的认知水平大多停留在 散状、 浅层的知识上， 没有聚焦在对知识整体结构 的构建上.因此， 本节课试图通过三个任务性问 题， 促进学生进行自我整理， 形成系统的知识结构 与方法结构， 并再次体会探究多边形内角和的过 程， 关注数学推理的严密性、 提升自我监控能力， 并进一步激发学生去探究解决数学问题的方法. 3 设计思路(1) 突出以学生学习为视角的板块设计当前中学数学教学环节的设计常常以“ 创设 情境— 探索活动— 解决问题— 课堂小结” 这种 结构形式呈现， 其设计的视角是教师， 体现的是教 师教的意图.那么如何设计以学生学习为视角的 教学设计结构？本节课以五大学习任务为主线展 开环节设计.板块1 :回顾“ 探索w边形内角和”的 方法； 板块2:利用分割的图形关系再探究； 板块 3:利用延长分割的图形关系再探究； 板 块 4:利用 三角形分割或补拼的图形关系进行再探究； 板块 5:归纳与整理.这种以一堂课的主要学习任务（ 知 识主线）来驱动学生学习， 亦即以学习任务作为 教学的板块设计， 其视角已转向了学习的主体 ——学生， 这样的板块设计学生的学习任务更明 确.当然， 在确定任务板块的同时， 其实也是将一 堂课的学习目标进行了第一次分解， 它将原来较 宽泛的课时学习目标分解成具体的、 明确的、 可操 作的小目标. (2) 突出以任务性问题为导向的过程设计美国教育博士加里.D.鲍里奇在《 有效教学方法》中指出， 影响一堂课的有效性有五个关键 因素，。