微积分不定积分的分部积分法ppt课件.ppt

一、基本内容一、基本内容二、小结二、小结三、思考题三、思考题第二十四节第二十四节 分部积分法分部积分法问题问题解决思路解决思路利用两个利用两个函数乘积函数乘积的求导法则的求导法则.分部分部积分积分(integration by parts)公式公式一、基本内容1)1)v 容易求得容易求得 ; ;容易计算容易计算 . .例例1 1 求积分求积分解（一）解（一） 令令显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.解（二）解（二） 令令例例2 2 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结总结 若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和正和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定假定幂指数幂指数是正整数是正整数)例例3 3 求积分求积分解解令令例例4 4 求积分求积分解解总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .练习 求解解题技巧:把被积函数视为把被积函数视为两类两类函数函数之积之积 ,按按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的的顺序顺序,前者为前者为 后者为后者为例例5. 求求解解: 令令, 则则原式原式 =反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数练习. 求解解: 令令, 则则原式原式 =练习 求解例例6 6 求积分求积分解解例例7 7 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式例例8 8 求积分求积分解解令令 解 练习 求 令 则 解解两边同时对两边同时对 求导求导, 得得二、不定积分在经济分析中的应用二、不定积分在经济分析中的应用例例1 已知某企业的某种产品在产量为已知某企业的某种产品在产量为q（单位：千（单位：千件）时的件）时的边际成本边际成本函数为函数为且固定成本为且固定成本为90万元，求总成本函数。

万元，求总成本函数解：总成本函数一般形式：解：总成本函数一般形式：总成本等于可变成本与固定成本之和，当产总成本等于可变成本与固定成本之和，当产量为零时，可变成本为零，此时总成本为固量为零时，可变成本为零，此时总成本为固定成本定成本90,即即C（（0）＝）＝90.代入总成本函数的代入总成本函数的一般形式，有一般形式，有所以，所以，C=80.总成本函数的表达式为总成本函数的表达式为21例例2 已知某集团公司生产的某种产品的已知某集团公司生产的某种产品的边际收入边际收入是是64q-q2 (单位：万元／百台单位：万元／百台)，其中，其中q是售出的产品数量是售出的产品数量（单位：百台），求其收入函数单位：百台），求其收入函数解：收入函数一般形式解：收入函数一般形式销售量为销售量为0时，收入为时，收入为0,即即R(0)=0.代入收入函代入收入函数的一般形式，有数的一般形式，有得，得，C=0收入函数的表达式为：收入函数的表达式为：例例3 设某商品的需求量设某商品的需求量Q是价格是价格p的函数，该商品的的函数，该商品的最大需求是最大需求是1000（即当（即当p=0时，时，Q＝＝1000）已知需）。

已知需求量的变化率求量的变化率(边际需求边际需求)为为求需求量求需求量Q与价格与价格p的函数关系的函数关系解：已知需求量的变化率解：已知需求量的变化率 ，求需求量，求需求量函数，即求不定积分有函数，即求不定积分有23由已知条件，由已知条件，p=0,Q=1000,代入上式得代入上式得C=0.得得到需求对价格的函数到需求对价格的函数合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式三、小结思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？应注意什么？思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.例例第一次时若选第一次时若选第二次时仍应选第二次时仍应选练练 习习 题题练习题答案练习题答案36 课后练习课后练习。