第二章 直线和圆的方程【压轴题专项讲义解析版).doc

x +y +2 =0 x yé y （ x -2）2+y 2 =2x +y +2 =01 2 C ．D ．和 第二章 直线和圆的方程【压轴题专项训练】一、单选题1 ．直线 分别与 轴， 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆(x -2)2+y2=2上，则 △ABP 面积的取值范围是A．[2，6]B．[4，8]C． ë2 ，3 2ùûD．éë2 2 ，3 2ùû【答案】A【详解】分析：先求出 A，B 两点坐标得到 算即可AB ，再计算圆心到直线距离，得到点 P 到直线距离范围，由面积公式计详解： 直线x +y +2 =0分别与 x 轴， 轴交于 A ， B 两点\ A (-2,0),B(0,-2),则AB =2 2点 P 在圆 上\圆心为（2，0），则圆心到直线距离d =12 +0 +2 2=2 2故点 P 到直线 的距离d2的范围为éë2,3 2ùû则S = AB d = 2 d Î[2,6] ABP 2 2故答案选 A.2．已知点A (2,-3),B(-3,-2)，直线l : mx +y -m -1 =0与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）A．k ³34或k £-4B．-4 £k £3 1 3k <- - £k £44 5 4【答案】A 【详解】m (x-1)+(y-1)=0，所以直线 l 过定点P (1,1)，所以k =PB34，k =-4PA，直线在PB到PA之间，所以k ³34或k £-4，故选 A．3 ．两圆x2+y2+2 ax +a2-4 =0 x2+y2-4by -1 +4b2=0恰有三条公切线，若a Î R , b Î R且 ab ¹0 ，则1 1+a 2 b 2的最小值为( x +a ) 2 +y 2 =42 2 O : x 2 +y 2 =1, 4 2B ．, 4 2PA, PBABx x +y y -1 =0, 4 20 0 d PA ^lPA dPB ^ll 14A．1 B．3C．9D．9【答案】A 【详解】试题分析：由题意得两圆 与x 2 +( y -2b ) 2 y =1相外切，即a2+4b2=2 +1 Þ a2+4b2=9，所以1 1 1 1 ( a 2 +4b2 ) 1 a 2 4b 2 1 a 2 4b 2 + =( + ) = [5 + + ] ³ [5 +2 × ] =1a 2 b 2 a 2 b 2 9 9 b2 a 2 9 b 2 a 2a 2 4b 2=，当且仅当 b a 时取等号，所以选 A.考点：两圆位置关系，基本不等式求最值4．过圆 内一点 P 的坐标满足方程（ ）æ1 1 öç ÷è ø作直线交圆 O 于 A，B 两点，过 A，B 分别作圆的切线交于点 P，则点A．x +2 y -4 =0 x -2 y +4 =0C．x -2 y -4 =0D．x +2 y +4 =0【答案】A【分析】设出 P 点坐标，求解出以 OP 为直径的圆 M 的方程，将圆 M 的方程与圆 O 的方程作差可得公共弦 AB 的方程，结合点 【详解】æ1 1 öç ÷è ø在 AB 上可得点 P 的坐标满足的方程.设 P (x0, y0 )，则以OP 为直径的圆 M : x (x-x0 )+y(y-y0)=0，即 x 2 +y 2 -x0 x -y 0 y =0①因为 是圆 O 的切线，所以OA ^PA, OB ^PB，所以 A，B 在圆 M 上，所以 AB 是圆 O 与圆 M 的公共弦，又因为圆O : x 2 +y 2 =1①，所以由① -①得直线 的方程为： 0 0 ，又点æ1 1 öç ÷è ø满足直线AB1 1x + y -1 =0方程，所以 4 2 ，即x +2 y -4 =0.故选：A.5．在平面直角坐标系中，已知点 P (a,b)满足 a +b =1 ，记 d 为点 P到直线x -my -2 =0的距离.当a , b, m变化时， d 的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【分析】根据直线l : x -my -2 =0过定点 A 确定出对于给定的一点 Pd = PA， 取最大值时 且 max ，然后根据点 P 为正方形上任意一点求解出 max，由此可知 max.【详解】直线 l : x -my -2 =0 过定点 A (2,0)，对于任意确定的点 P ，当 PA ^l 时，此时 d = PA ，当PAd = PB不垂直 时，过点 P 作 ，此时 ，如图所示：x , yx t = y( )( )g t = x -t2 x ( ) 2 因为PB ^ AB，所以PA > PBd = PA ，所以 max ，由上可知：当 P 确定时， d max即为 PA ，且此时 PA ^l ；d = PA又因为 P 在如图所示的正方形上运动，所以 max max ，PA M (-1,0) PA =2 -(-1)=3 当 取最大值时， P 点与 重合，此时 ，所以d =3max，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析 d 取最大值时 PA 与直线 l 的位置关系，通过位置关系的分 析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.6．若实数 满足x -4 y =2 x -y，则 最大值是（ ）A．4 B．18 C．20 D．24【答案】C【分析】当 x =0 时，解得 y =0 ；当 x >0 ，令 ，可得x x-2t + = x -t 2 f t =-2t +2 ，设 2 ， ，则问题等价于f (t)g (t)和 有公共点，观察图形可求解.【详解】当 x =0 时，解得 y =0 ，符合题意；当 x >0 时，令 t = y ，则 t ³0 ，又 x -y ³0 ，则 t £ x ，即x-2t + = x -t 2则原方程可化为 2 ，设 f (t)=-2t+， g t = x -t 2 ， t Îéë0,x ùû，t Îé0, x ù ë û，则f (t)表示斜率为-2g (t)的直线， 表示以原点为圆心，半径为x的四分之一圆，则问题等价于f (t) g (t)和 有公共点，观察图形可知，x x Î[4,20]È{0} xt = yC : ( x -m ) 2 +( y -2 m +1)2 =2 m 2x2= x当直线与圆相切时，由 5 ，解得 x 20 ，(0, x ) = x当直线过点 时， 2 ，解得x =4，x Î[4,20]因此，要使直线与圆有公共点， ， 综上， ，故 的最大值为 20.故选：C.【点睛】关键点睛：解题得关键是令 ，将问题转化为直线f (t)=-2t+x2与圆有公共点.7．已知圆 ，有下列四个命题：①一定存在与所有圆都相切的直线；①有无数条直线与所有的圆都相交；①存在与所有圆都没有公共点的直线；①所有的圆都不过原点.其中正确的命题个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①可先设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径建立等式求解. ①①根据直线与两条切线的相对位置，可找出与圆相交和相离的直线 ①假设过原点，有解【详解】由圆C : ( x -m ) 2 +( y -2 m +1)2 =2 m 2知圆心坐标为( m,2 m -1)，半径r = 2 | m |，圆心在直线y =2 x -1上，①假设存在直线与所有圆均相切，设为y =kx +b则( m,2 m -1)到y =kx +b的距离为r = 2 | m |m 解 得. ( )5 2 5( y -1)2 +4 (0,y ) (2,1)( x,0) (0,y ) x, ykm -2 m +1+br = 2 | m |=k 2 +1可得1 +bk -2 +m2 =k 2+1直线与所有圆均相切，故切线应与 无关，可取b =-1，有2 =k -2k 2 +1k =-2± 6y = -2 ± 6 x -1即所以，存在与所有圆均相切的直线，故①正确；过点过点0, 10, 1介于两相切直线之间的直线，均与所有圆相交，故①正确； 在两相切直线之外部区域的直线，与所有圆均没有交点，故①正确；假设过原点，则( -m) 2 +( -2m +1)2 =2 m 2，得 m =1 或m =13，故①错误.故选：C【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数， 或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8．已知x, y ÎR，则( y -1)2+4 + ( x -2)2+1 + x2+y2的最小值为（ ）A． B．3C． D．6。