初中数学教材的认识与运用.doc

彰显价值 促进发展——关于初中数学教材认识与运用的思考与实践 本文部分材料引自马复先生《深刻理解数学教材》 ，特此致谢1 认识教材从结构和表现特点看，教材表现为显性结构：结构体系、单元联系、概念法则、例题习题、背景材料．隐性结构：过程方法、思维能力．我们认识和理解教材，应该做到整体认识教材体系，注重挖掘联系，形成结构和网络．1.0 关于教材的基本讨论1.0.1 什么是教材数学教材是学校环境下学生学习数学、教师教授数学的最基本课程资源．数学教材决定了课堂内数学学习活动的最基本内容、过程，因此在很大程度上影响着数学课程的实施．对学生而言，数学教材的基本功能主要包括：帮助学生获取数学知识、技能和方法；促进学生基本数学素养、一般能力和数学能力的发展；帮助学生了解数学的作用、价值；发掘学生学习数学的兴趣、提供适应其相关学习需求的主要资源；巩固学生数学学习成果、提供评价其数学学业水平的标准；等等．1.0.2 数学教材基本构成一套完整的数学教材至少包括：学生用书（教科书）、教师用书（教参）、学生练习手册，也有的教材还根据需要开发了学生学习评价手册，家长阅读材料，等等．1.0.3 教科书的组成一套数学教科书通常被指定供小学生、初中生或高中生使用，它们都由若干册组成，多数情况下，每册使用一学期或一年，少数教材使用若干周、或多于一年．每册教科书均由若干章组成，每一章通常指向一个学习主题（如二元一次方程组、指数函数等）；每一章又包括若干节，每节都是该学习主题的一个方面或部分（如二元一次方程组的概念、二元一次方程组的解法、二元一次方程组的应用等）；每一节则按教学的实施状况，涵盖若干个课时（如二元一次方程组的概念为一课时、二元一次方程组的解法为两课时、二元一次方程组的应用为两课时，等等）．1.0.4 教科书的编排1.0.4.1 分科式与混合式分科式编排——将代数、几何、统计概率等单独成科编写，以更好地反映各领域内容的内在结构；混合式编排则是将代数、几何、概率统计等综合为一门科目，力图加强不同领域之间的联系．我国中学数学教材的编排发展历程是：1949-1966，分科式编排，分算术、代数、几何、三角等多本独立的教材；1978-1980，第一次采取混合式编写；1981-1995，分科式编写再度成为主流；1996-2000，又开始出现混合式教材；2001—，混合式成为教材编写的主流．例 某出版社初中数学教材（八上）前五章的混合式编排第一章 勾股定理第二章 实数第三章 位置与坐标第四章 一次函数第五章 二元一次方程组这五章之间体现了很强的逻辑关系和内容的融合：古代数学先有了平面几何的重要定理——勾股定理；其后，由于研究一些特殊量而得出不可公度的量（无理数、实数）的概念；实数可以和数轴上的点形成一一对应，因此，数轴也变成了“实”的—可以刻画连续变化的量．为表示平面上点的位置做了铺垫．在此基础上拓展出二维坐标，用来刻画平面上的点．建立平面直角坐标系，又帮助人们从“形”的角度认识函数（一次函数）．而函数与方程是紧密相联的，借助一次函数的图像，又可以从“形”的角度进一步认识二元一次方程（组）的解．例 勾股定理与实数混合编排的理解．① 学科角度：“勾股定理”是一个最基本的几何定理，表达的是三角形边之间的数量关系，“实数”是代数对象，两者之间并无逻辑上的必然关系．② 认识角度：在数学发展史上，“勾股定理”较实数早出现数百年，而且引发“实数”（无理数）概念出现的重要缘故正是对“勾股定理”的应用．所以从认识过程看，“勾股定理”在前并无不可．③ 教材角度：之所以有“实数”应当在“勾股定理”之前的看法，更多的是以往的教材总是这样排，其“好处”是可以在学完“勾股定理”之后立刻可以出“难题”（以复杂的实数值作为三角形的边长）．这样做的结果是教学完全偏离内容本质，走到代数、甚至技巧上去了，或者说，其结果是忽略“勾股定理”的几何内涵而处理其代数特征，没有抓住内容的本质．④ 教学角度：对“勾股定理”应用范围的扩大完全可以在学完实数以后进行．1.0.4.2 直线式与螺旋式直线式：按照数学知识的前后逻辑关系，将课程内容组织成直线向前的体系，前面的内容为后续内容做准备，后续内容不重复前面的内容．螺旋式：在不同学段（不同单元）中，某些课程内容重复出现，逐渐拓展知识面、加深知识难度，即同一课程内容多次出现，后面内容作为前面内容的扩展、深化．例 某教材函数内容的螺旋式编排．某教材采用了“逐级递进、螺旋上升”的做法，以体现函数不仅仅是初中数学的一个重要概念，更是一种重要的数学思想．具体过程包括三个阶段．⑴ 经验性理解——学生通过对若干生活和数学中的现象与问题的研讨，感受变化过程、“对应”现象；尝试探索变化规律的活动；经历研究函数基本性质的过程；尝试根据函数的基本特征做预测的活动．这样做，既有助于丰富学生对函数的感性认识，也为其后续的函数学习打基础．编排呈现：7下第3章变量之间的关系．⑵形式化理解教材采用“由具体到一般”的做法，从对若干具体函数内容的处理（一次函数、反比例函数、一元二次函数），进一步深入到一般函数概念的层面．主要目的在于让学生从事函数内容的实质性学习：包括理解函数的基本概念（自变量、定义域等），以及相关的性质；借助函数的知识和方法解决问题等．目的是帮助学生理解作为抽象对象的函数．8上第四章一次函数、9上第六章反比例函数、9下第二章二次函数．⑶ 结构化理解在这一阶段，教材选择了若干实例，分析了函数与其他数学内容的实质性联系，意图帮助学生从结构的高度加深对函数意义的理解．8上第五章：二元一次方程组，8下第二章：一元一次不等式（组），9下第2章：二次函数．1.0.5 教科书体例体例是教科书组织与呈现课程内容的具体形式，包括数学活动方式和活动过程等．章——由章前图、章前语、各节内容、本章小结、章复习题等内容构成．章前图：选择本章内容含有的典型图片（或另行设计），反映本章要解决的数学问题或所要学习的数学知识内容．让学生初步了解全章概貌，了解本章内容学习的意义．章前语：借助章前图，提出蕴含本章内容的具体问题，简要陈述本章主要学习目标．节——一般包括主题、情境、活动、结论、例题、练习、习题、阅读等内容．节为教学的基本单元，每节有自己的小系统，从每节的教材设计可以看出整个教材的体例．例 某教材的体例说明．章节名称——主题问题情境——以学生自身和周围环境中的自然现象、社会生活、数学或其他学科中的问题为知识学习的切入点，突出数学与现实世界、与其他学科之间的联系，以及知识产生的由来，引发学生的学习欲望、展开主题内涵；问题串——由浅入深，提出一系列有思维层次或不同理解深度的问题，力图使每一位学生都能投入到学习活动中，不同的人得到不同的收获；数学活动——依据学生已有的知识背景和活动经验，针对相应学习主题，提供给学生的，以自主探索、合作交流等方式进行的主动式学习活动，包括“做一做”、“想一想”、“议一议”等．思考与整理——让学生经历归纳、概括等过程，提炼出上述活动中的数学学习对象，并用自己熟悉的方式、语言及数学符号去表达．明晰——用较为规范的形式正规的数学语言表达主要的数学对象，概念、法则、定理等．例题（直接联系所学内容）随堂练习（与先前的数学活动或例题关联的基本问题）阅读材料（以“读一读”形式出现的，与学习主题密切相关的数学史实、现实中的数学应用介绍文章或趣味性小评文，每章至少有一个）习题——章小结——对全章内容的梳理以及对本章内容所反映的主要思想方法的归纳概括，对于帮助学生“由厚到薄”地再认识本章内容、帮助教师提升教学的思想性具有重要作用．回顾与思考——以问题的方式引起学生对本章主要知识和方法的整理、交流和表述．让学生通过思考与交流，梳理所学的知识，最终建立起符合个体认知特点的知识结构．1.1 宏观上，整体把握数学知识体系、教材结构体系1.1.1 编写结构体系元素——内容；关系——逻辑与层次；编排——组合与顺序⑴ 知识体系．数学教科书应当反映数学的知识结构——数学学科知识自身内在的逻辑、层次关系和基本顺序．⑵ 教育体系．数学教科书的结构应当在满足数学知识的基本逻辑关系、层次关系的基础上，以符合学生的认知特点、思维水平，有益于其发展的方式组合、排列．即教材的编排既应当考虑数学知识结构，也应当考虑学生的认知结构．基于新课程理念的数学教材主体采用的都是教育本位的观点．⑶ 结构体系——明线与暗线．结构体系的明线一般为目录所呈现，在内容总结部分也有表现．结构体系的暗线多隐匿在内容“背后”：渗透数学思想方法的暗线，培养学生能力的暗线，帮助学生积累数学活动经验的暗线，等等……例 教材中“提出问题”的基本结构体系．第一层次，有意识地培养学生的自我意识．让学生从事形成猜想的活动——通过解决教材中给出类似于“结果是什么”、“你能得到…”、“你是怎样做的”的问题．第二层次，有意识地激发学生的发散思维、问题意识．让学生从事“提出问题”的活动——通过解决教材中提出类似于“还有什么方法”、“如果问题改变为…，你有什么解决方法”、“还能够提出哪些问题”等问题．第三层次，有意识地帮助学生形成一些“提出问题”的基本策略．让学生从事对“提出问题”的过程进行反思的活动——通过解决教材中类似于“自己的问题与原问题的区别是什么？”、“你的解法与同伴的解法区别在哪里”、“你是怎样得到这个问题（解法）的”，等问题．1.1.2 内容结构体系以数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四方面的课程内容为主线，可从课程标准、中考要求与试题特点两个维度分析研究．阅读链接在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”． “综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力．“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等．“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动．“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率．“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动．在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题．“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合．例 教材结构的宏观分析实例．1 知识体系、教材结构基本视角：课程标准、教材编写课程标准——一、数与代数（一）数与式1．有理数（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）．（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）．（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算．（5）能运用有理数的运算解决简单的问题（参见例47）．2．实数（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方。