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浅谈大涡模拟摘 要：湍流流动是一种非常复杂的流动，数值模拟是研究湍流的主要手段，现有的湍流数值模拟的方法有三种：直接数值模拟、大涡模拟和雷诺平均模型本文主要是介绍大涡模拟，大涡模拟的思路是：直接数值模拟大尺度紊流运动，而利用亚格子模型模拟小尺度紊流运动对大尺度紊流运动的影响大涡模拟在计算时间和计算费用方面是优于直接数值模拟的，在信息完整性方面优于雷诺平均模型本文还介绍了对N-S方程过滤的过滤函数和一些广泛使用的亚格子模型，最后简单对一些大涡模拟的应用进行了阐述关键词：计算流体力学；湍流；大涡模拟；亚格子模型A simple study of Large Eddy SimulationDING Puxian (Central South University, School of Energy Science and Power Engineering, Changsha, Hunan, 410083)Abstract：Turbulent flow is a very complex flow, and numerical simulation is the main means to study it. There are three numerical simulation methods: direct numerical simulation, large eddy simulation, Reynolds averaged Navier-Stokes method. Large eddy simulation (LES) is mainly introduced in this paper. The main idea of LES is that large eddies are resolved directly and the effect of the small eddies on the large eddies is modeled by subgrid scale model. Large eddy simulation calculation in computing time and cost is superior to direct numerical simulation, and obtain more information than Reynolds averaged Navier-Stokes method. The Navier-Stokes equations filtering filter function and some extensive use of the subgrid scale model are simply discussed in this paper. Finally, some simple applications of large eddy simulation are told.Key words：computational fluid dynamics; turbulence; large eddy simulation; subgrid scale model0 引言无论是在自然界还是在工程中，流体的流动很多都是湍流流动，例如，山中的流水，飞流直下的瀑布，飞机机翼旁边的气体流动，喷嘴的射流，炉内的气体流动等等。

湍流是一种非常复杂的流动，复杂性表现在于湍流流动的随机性、有旋性、统计性虽然已经可以用N-S方程描述各种流动，但是由于方程组的强耦合性和非线性，这样对于解这些偏微分方程带来很大的困难，所以研究湍流的方法主要是实验和数值模拟但是由于有些实验难以实现，例如机翼附近的空气流动，故数值模型的方法得到了研究人员的青睐现有的湍流数值模拟方法有3种[1]：直接数值模拟，大涡数值模拟和雷诺平均模拟直接数值模拟不需要对湍流建立模型，采用数值计算直接求解流动的控制方程；工程中广泛应用的湍流数值模拟方法采用雷诺平均模型，这种方法将流动的质量、动量和能量输运方程进行统计平均后建立模型；大涡数值模拟的主要思想是：大尺度湍流直接利用数值求解，只对小尺度湍流脉动建立模型由于直接数值模拟需要较大计算机内存和时间，而雷诺平均模型得到信息不够多，但是大涡数值模拟(LES)有两者的优点，所以对于大涡模拟的研究是相当有必要的本文将对大涡模拟及其应用和亚格子模型进行简单的介绍1 大涡模拟目前计算机的计算能力仍对数值模拟紊流时所采用的网格尺度提出了严格的限制条件人们可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。

大涡模拟的思路是：直接数值模拟大尺度紊流运动，而利用次网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度紊流运动的影响[2]大涡模拟较直接数值模拟占计算机的内存小，模拟需要的时间也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息所以随着计算机的发展，大涡模拟越来越收到国内外研究者的关注，并且认为大涡模拟将是最有前景的湍流模型使用大涡模拟的时候，要注意以下4个问题[3]:1) 用于N-S方程进行过滤的函数2) 彻底经过经验封闭的模型(包括传统亚格子模型和其它封闭方法)3) 足够多的边界条件和初始条件4) 使控制方程在空间和时间上离散的合适数值方法不可压缩常粘性系数的紊流运动控制方程为N-S方程[4]： (1-1)式中：S 拉伸率张量，表达式为：；分子粘性系数；流体密度根据LES基本思想，必须采用一种平均方法以区分可求解的大尺度涡和待模化的小尺度涡，即将方程(1-1)中变量u变成大尺度可求解变量与雷诺时间平均不同的是LES采用空间平均方法设将变量分解为方程(1-1)中和次网格变量(模化变量),即,可以采用leonard提出的算式表示为:(1-2)式中称为过滤函数，显然G(x)满足常用的过滤函数有帽型函数(top—hat)、高斯函数等。

帽型函数因为形式简单而被广泛使用 (1-3)这里为网格平均尺度，三维情况下，，，，分别为x1，x2，x3 方向的网格尺度当时，LES即转变为DNS将过滤函数作用与N-S方程的各项，得到过滤后的紊流控制方程组： (1-4)由于无法同时求解出变量和，所以将分解成，即称为次网格剪切应力张量(亦称为亚格子应力)由此动量方程又可写成： (1-5)式中代表了小窝对大涡的影响上述叙述的过滤器属于非均匀过滤器，实际应用中还有均匀过滤器，例如盒式过滤器、高斯过滤器、谱空间低通过滤器等等为了能够对进行模化，学者们提出了亚格子模型2 亚格子模型大涡模拟的基本思想就是对可解尺度湍流(或者讲大尺度湍流)直接数值求解，但对不可解尺度湍流对可解湍流的影响由亚格子模型进行模化亚格子模型一般有以下集中类型[5]:唯象论的亚格子涡粘和涡扩散模型及其改进模型、结构性亚格子模式、理性亚格子模式和其它亚格子模式目前，在大涡模拟中经常广泛采用的亚格子模型有标准的Smagorinsky模型、动态涡粘性模型、动态混合模型、尺度相似模型、梯度模型、选择函数模型等[6]。

其中Smagorinsky模型被广泛应用2.1 亚格子涡粘和涡扩散模型[1]不可压缩湍流的亚格子涡粘和涡扩散模型采用分子粘性和分子热扩散形式，即 (2-1) (2-2)以上公式中和分别称为亚格子涡粘系数和亚格子涡扩散系数；是可接尺度的变形率张量式(2-1)第2项是为了满足不可压缩的连续方程，当收缩是(=0)等式两边可以相等涡粘和涡扩散模型的最大优点是计算方便，只要增加一个涡粘系数和涡扩散系数的模块，就可以利用N-S方程的数值计算方法和程序此外，整体上亚格子湍动能耗散或亚格子标量能量耗散总是正值，因此涡粘和涡扩散模型的计算稳定性和鲁棒性也较好将亚格子应力的涡粘模型公式(2-1)代入到(1-5)式中，变形得 (2-3) (2-4)2.2 Smagorinsky模型Smagorinsky模型是由Smagorinsky于1963年提出来的，该模型是第一个亚格子模型文献[7]中是这样介绍Smagorinsky模型的：广泛用于大涡模拟中的涡粘模型认为亚格子应力的表达式如下： (2-6)式中是可接尺度的变形率张量，是涡粘系数。

1963年Smagorinsky定义了涡粘系数： (2-7)式中是变形率张量的大小，是过滤尺度，CS无量纲参数，称为Smagorinsky系数需要指出的是(2-7)式是根据各向同性湍流的能量输运推到的公式，在实际应用中会发现Smagorinsky模型的一个致命的缺陷就是耗散过大故文献[8]描述的动态Smagorinsky模型可以弥补一些Smagorinsky模型的缺点动态Smagorinsky模型是基于为了减小Smagorinsky模型过大耗散的Germano等式而得来的，1991年Lilly进行了改进文献[1]对动态Smagorinsky模型进行了详细的阐述为了表示简便，以过滤的可解速度用上标“—”表示，以过滤的可解速度用上标“~”表示，一次过滤的Smagorinsky模型的亚格子偏应力公式为(2-8)式中CD是取代Smagorinsky系数的动态系数，是一次过滤的过滤长度假设过滤尺度、都是在惯性子区范围内，则以尺度过滤的亚格子应力的系数应当和果过滤的系数相等，即 (2-9)这里需要Garmano等式，故附上式(2-10) (2-10) 由于，将式(2-8)和(2-9)带入(2-10)，有 (2-11)可令 (2-12)由(2-12)不能直接结算系数CD，因为它是超定方程。

有几种方法解决超定问题1) 变形率张量收缩法将式(2-7)两边同乘以可解尺度的变形率张量，关于CD的方程就确定了实际计算表明，这种方法计算的模式系数很不规则，计算的稳定性较差2) 最小误差法令式(2-12)两边的平方差最小，即 (2-13)由上式可得 (2-14)最小误差法较之变形率张量收缩法有很大的该进，但是还是有缺陷，故用下式改进 (2-15) 以上介绍的物理模型都是在物理空间的大涡模拟，文献[1]还介绍了谱空间的涡粘模式，这里就不多做介绍3 定解条件虽然有了亚格子模型，大涡模拟方程已经封闭了，但是还需要合适、并且足够多的定解条件才可以完全求解出结果定解条件包括初始条件和边界条件初始条件要考虑湍流是均匀的还是切变的边界条件包括：固体壁面、周期条件、渐近条件、进口条件、出口条件和可压缩湍流的附加边界条件等等在文献[1]和相关的论著中有更详细的讲解这里就不介绍了至于使控制方程在空间和时间上离散的合适数值方法并不属于本论文的研究内容在文献[9]中，D. Fauconnier等人介绍了一种动态最优化的有限差分格式，该动态格式是由泰勒级数展开式推导而来的，经过论证这种方法可以减小离散误差，并且得到的结果和理论上的预测值很接近。

4 大涡模拟的应用大涡模拟在计算时间和计算费用方面是优于直接数。