勾股定理知识点+对应类型.docx

第二章 勾股定理、平方根专题第一节勾股定理1、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为«, b，斜边长为C,那么 a2+b2=c2 .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个 三角形是直角三角形2. 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组附：常见勾股数:3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形2）有两个角互余的三角形是直角三角形用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2=a2+b2，则△ ABC是以NC为直角的三角形；若a2+b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半。

3） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°5. 勾股定理的作用：（1） 已知直角三角形的两边求第三边2） 已知直角三角形的一边，求另两边的关系3） 用于证明线段平方关系的问题4） 利用勾股定理，作出长为"万的线段二、 平方根：（11 19的平方）1、 平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根也称为二次方根），也就是说如果x2=a，那么x就叫做a的平方根2、 平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； _一个正数a的正的平方根，记作了 a”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“一％a ”， 这两个平方根合起来记作“ 土侦a叫被开方数，“"”是二次根号，这里“"”， 亦可写成“2 ”）② 0只有一个平方根，就是0本身算术平方根是0③ 负数没有平方根3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算4、 （1）平方根是它本身的数是零2） 算术平方根是它本身的数是0和13） （方）=a（a > 0）a 2 = a （a > 0）a 2 = -a（a v 0）（4） 一个数的两个平方根之和为0三、 立方根：（1 9的立方）1、 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。

也称为二次方根），也就是说如果x3=a，那么x就叫做a的立方根记作“如”2、 立方根的性质：① 任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 0的立方根是0.② 互为相反数的数的立方根也互为相反数，即G = - *方③（［a ）3 = 3 a 3 = a3、 开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根4、 立方根是它本身的数是1，0，-15、 平方根和立方根的区别：（1） 被开方数的取值范围不同：在±5中，a ＞ 0，在3a中，a可以为任意数值2） 正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根6、 立方根和平方根：不同点：（1） 任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：土'•成中的被开方数a是非负数；和 中的被开方数可以是任何数.（2） 正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（3） 立方根等于本身的数有0、1、一1，平方根等于本身的数只有0.共同点：0的立方根和平方根都是0.四、实数：1、 定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，n）。

有理数：有限小数或无限循环小数注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、 实数的分类：正有理数有理数］零 |有限小数或无限循环小数实数j 负有理数无理数正无理数、负无理数J无限不循环小数「整数］有理数实数＜P有限小数或无限循环小数 ＜分数JI 无理数（无限不循环小数）实数的性质：①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的② 实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应③ 两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小④ 实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算3、 近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数取近似值的方法一一四舍五入法4、 有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、 科学记数法：把一个数记为aX10n（其中1 < a < 10,n是整数）的形式，就叫做科学记数法6、 实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数实 数与数轴上的点是一一对应的。

勾股定理：（一）结合三角形：1. 已知A ABC的三边a、b、c满足（a — b）2 + （b — c）2 = 0，则A ABC为 三角形2. 在 A ABC 中，若 a 2=（ b + c）（ b - c），则 A ABC 是 三角形，且/90°3. 在 A ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为 1. 已知优一12| + |x + y - 25|与z2 —10z + 25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三 角形的形状2. 已知：在 A ABC 中，三条边长分别为a、b、c，a = n2 — 1，b =2 n，c = n2 +1（ n >1）试说明：/ C= 90°3.若 A ABC 的三边 a、b、c 满足条件 a 2 + b2 + c2 + 338 = 10a + 24b + 26c ,试判断 A ABC的形状4.已知寸a — 6 + 2|b — 8 + (c —10)2 = 0,则以a、b、c为边的三角形 （二）、实际应用:1. 梯子滑动问题：（1） 一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米（2） 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于''，或“小于”）（3） 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC±BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）A. x = J B. x > J C. x < y D.不能确定当他把绳子（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米2.直角边与斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（1 1 _ 1D. a+b=hA. ab = b2 B. a2 + b2 = 2h2变：如图，CD±AB 于 D，求证:在 RtAABC 中，匕ACB=901 1 1——+——= -a 2 b 2 h 2a + b < c + h以a + b，h，c + h为三边的三角形是直角三角形(1)(2)(3)设 AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。

试一试：（1）只需证明h2（土 + -1） = 1,从左边推到到右边a 2 b 2（2） （a + b）2 < （c + h）2（3） （a + h* + h2 = （c + h》,注意面积关系ab = ch的应用3. 爬行距离最短问题：1. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有 一只昆虫乙（盒壁的忽略不计）（1） 假设昆虫甲在顶点q处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱8鸟的中点E，再连结AE、Eq，昆虫乙如果沿途径A — E — C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到 昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行， 同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲2） 如图b，假设昆虫甲从点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时 昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉 到昆虫甲？试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点C沿棱CC向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同 1 1的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间图a 图b2. 如图，一块砖宽AN=5 cm，长ND=10 cm，CD上的点F距地面的高FD=8 cm，地面上A处的 一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线 cm3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程 分米？4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ）A.囱 B. 1 + \'2 么 C. 3a Dq&4.折叠问题:1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6, BC=8, 重合，折痕为DE，则CD等于（ ）25A. T22B.亏将^ABC折叠，使点B与点A1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度 米。

2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4、''3米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是 米3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 是 O4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸， 测得BC = 50米，匕B = 60°，则江面的宽度为 o（三）求边长：1. （1）在 Rt AABC 中，a、b、c 分别是/ A、/B、/C 的对边，/C=90°①已知：a =6, c =10，求b ； ②已知：a =40，b =9，求c ；2.如图所示，在四边形ABCD 中，/BAD=90°，/DBC=90°，AD=3，AB=4，BC=12，求CD五）方向问题：1.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得匕 MAN=30°，当他到B点时，测得ZMBN=45°，AB = 100米，你能算出AM的长吗？2. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千 米.⑴此时轮船离开出发点多少km。