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二元二次方程组【教学内容】 简单的二元二次方程组【教学目标】 1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解2、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法3、通过解简单的二元二次方程组，使学生进一步理解“消元”“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识知识讲解】 1、形如x2+y=2，x2+y2=0,3x2+2y2+1=0，4x2–4xy+y2+2x–y–12=0这些整式方程，每个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次都是2，像这样的含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次是2的整式方程，称为二元二次方程关于x、y的二元二次方程式的一般形式是ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0（a、b、c不全为零）其中ax2、bxy 、cy2叫做方程的二次项，dx、ey 叫做方程的一次项，f叫做常数项2、我们所研究的二元二次方程组一般由两个方程联立而成，其中一个是二元二次方程，另一个可能是二元二次方程、二元一次方程、一元二次方程或一元一次方程二元二次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元二次方程组的解。

求解二元二次方程组的基本思想是消元或降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次，因此，通过消元或降次可以将其转化为二元一次方程组或一元二次方程甚至一元一次方程，以便求解例如在解方程组x–2y–1=0 (1)时，注意到(1)可以转化为x=2y+1(3)，将(3)式代入(2) x2–y2–4x－y+1=0(2) 即可消去(2)中的未知数x，得到一个关于y的一元二次方程我们把这种解方程组的方法叫代入消元法而在解方程组时，显然无法直接使用代入法求解，但由于方程（2）可分解为(x–2y)(x–3y)=0即x–2y=0或x–3y=0，这样一来，原来的二元二次方程立即转化为两个二元一次方程，通过因式分解降低了方程的次数原方程组随之转化为这样两个二元二次方程组，而后可用代入法求解，我们把这种解方程组的方法叫分解降次法例题讲解】 例1、解方程组 解：由(2)得 x=y+2 (3)把(3)代入(1)得，3(y+2)2–2(y+2)·y=5整理得 y2+8y+7=0解得 y1=–1，y2=–7把y1=–1代入(3)，得x1=1把y2=–7代入(3)，得x2=–5∴原方程组的解为， 说明：有一个方程是二元一次方程的二元二次方程组，其解法通常用代入法。

例2、解方程组解法一：用代入法 由(1)得 x=–y–1 (3) 把(3)代入(2)得(–y–1)y=–12 即 y2+y–12=0 (y+4)(y–3)=0 y1=–4，y2=3 把y1=–4代入(3)得x1=3 把y2=3代入(3)得x2=–4 ∴原方程组的解为，解法二：根据一元二次方程的根与系数间的关系，可以把x 、y看成是t2+t–12=0的两个实数根，解这个方程得t1=3，t2=–4由于原方程组中的两个未知数x和y可以轮换，所以原方程组有两组解，说明：解形如型的方程组，除了用代入法可解外，由于已知x与y这两个数的和与积，所以还可以利用一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看作是一元二次方程t2–bt+c=0的根，去解这个关于t的一元二次方程即可求得原方程组的解，但要注意到原方程组中的x、y可以轮换，所以原方程组一般有两组解例3、解方程组：分析：这个方程组不是二元二次方程组，而是分式方程组，但如果把，看作未知数，则8是两数之和，7是两数之积，这样就可归积为型的方程组了，可以仿照例2用代入法或利用一元二次方程的根与系数关系求解。

解：∵ ， ∴是方程z2-8z+7=0的两个根 解得：z1=1，z2=7 即 或 经检验，它们都是原方程的解例4、若方程组有两个不相等的实数解，试求m的取值范围解：把(2)代入(1)得，(mx+2)2–4x–2(mx+2)+1=0 整理得 m2x2+(2m–4)x+1=0 ∵原方程组有两个不相等的实数解 ∴此一元二次方程必有两个不相等的实数根 ∴ ∴m<1且m≠0说明：有关方程组的解的情况的讨论通常都是用代入法转化为一元二次方程的解的情况的讨论 例5、解方程组解：由(1)得(2x–y)(3x–y)=0所以(1)可以转化为2x–y=0或3x–y=0原方程组可化为或用代入法解这两个方程组，得原方程组的解为：；；； 例6、解方程组解法一：（1）+（2）×2得 (x+y)2=49，x+y=±7 （1）-（2）×2得 (x-y)2=1，x-y=±1 ∴原方程组可化为 分别解这四个方程组，可得原方程组的解为： 解法二：（1）+（2）×2得 (x+y)2=49，x+y=±7 原方程组可化为： 以下仿例2求解。

解法三：由（2）得：x=代入（1）化简得： y4-25y2+144=0 (y2-9)(y2-16)=0 求出y后再分别代回（2）求解解法四：由（2）得 （x2）(y2)=144，令u=x2，v=y2 得： 以下仿例2求出u和v，最后再求出原方程组的解例7、解方程组分析：若将（2）化为x=13–y，而后代入(1)得利用平方法可以解出y，但求解y的过程比较复杂，这种解法不太好如果我们将设为a，设为b，利用换元法可得这样一个简单的二元二次方程组，求出a，b后再代回求x，y，可以比较迅速且准确地解出原方程组建议同学们用上述两种方法解这个方程组，比较和体会一下不同解法的优劣一周一练】 一、填空题：（每小题4分，计16分）1、关于x、y的二元一次方程ax2-2y2=-7的一个解为，那么a= 2、方程组的解为 3、若(2x2-3y2-10y+5)2+=0，则x= ，y= 4、若方程组有两组相同的解，则k= 二、选择题：（每小题4分，计24分）1、下列方程中，二元二次方程是（ ） A、x2+=1 B、x2–y2=1 C、x2+3x–4=0 D、2、利用代入法解方程组，消去x可得方程（ ）A、y2+17y+60=0 B、y2-17y+60=0 C、2y2+17y+120=0 D、2y2-17y+120=03、如果方程组无实数解，则a、b应满足的条件是（ ）A、b< B、b> C、b= D、b≥4、当2m=n时，方程组的解的情况是（ ） A、有一个实数解 B、有两个实数解 C、没有实数解 D、不能确定5、如果 是方程组的一个解，那么这个方程组的另一个解是（ ） A、 B、 C、 D、 6、如果方程组的两个实数解是 那么的值是（ ） A、 B、 C、 D、1 三、解下列方程组：（每小题8分，计48分）1、 2、3、 4、5、 6、四、当m取何值时，方程组 （1）只有一个解，并求出此解；（2）有两个不同的解；（3）无解。

练答案一、1、a=1 2、， 3、x=2，y=1 4、k=二、1、B 2、B 3、B 4、B 5、A 6、B二、1、 ， 2、，，， 3、 4、 5、 6、 四、（1）m=0时，方程组的解为；m=时，方程组的解为 （2）m<且m≠0 （3）m>。