数学物理方法课件：05 傅里叶变换.ppt

1第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换5.1 傅里叶级数傅里叶级数5.2 傅里叶积分傅里叶积分 (重点重点)5.3 Delta函数函数利用三角函数，可将一以利用三角函数，可将一以L为周期的函数为周期的函数f(x)展成一无穷级数：展成一无穷级数：当周期当周期L时，对无穷级数求和变为求积分时，对无穷级数求和变为求积分格临函数理论的核心格临函数理论的核心在信号与系统、通信原理、数学物理方程上有重要应用在信号与系统、通信原理、数学物理方程上有重要应用为为5.2节的基础节的基础与傅里叶积分联系为与傅里叶积分联系为可用留数可用留数定理计算定理计算2§5.1. 3, 4(2), 5(2), 6(1), 8§5.2. 1, 5§5.3. 2§6.1. (1)(2)§6.2. 1(2), 12(2)§6.3. 1(1)第五、六章第五、六章 作业作业 4 4月月1616日（星期二）交日（星期二）交过期不收过期不收3期中考试安排期中考试安排时间：时间：8:00 - 9:50 8:00 - 9:50 4 4月月1818日日（星期四）（星期四）地点：分两个教室（待定）地点：分两个教室（待定）内容：复变函数论（教材内容：复变函数论（教材 Ch.1 - Ch.6Ch.1 - Ch.6））复习：复习：4 4月月1616日（星期二）第三、四节课日（星期二）第三、四节课4§5.1 傅里叶级数傅里叶级数一、周期函数的傅里叶展开一、周期函数的傅里叶展开1、若函数、若函数 f(x)以以2l为重复周期，即满足条件为重复周期，即满足条件则可取三角函数族则可取三角函数族将将f(x)展开为级数展开为级数+l-lof(x)5上式称为周期函数的傅里叶展开，在许多工程技术领域，上式称为周期函数的傅里叶展开，在许多工程技术领域，如：信号与系统、数字图像处理、傅里叶光学等方向上如：信号与系统、数字图像处理、傅里叶光学等方向上有着重要应用。

有着重要应用如何求得展开系数？如何求得展开系数？问题：问题：该级数是否收敛？该级数是否收敛？62、展开系数公式、展开系数公式注意到三角函数族注意到三角函数族满足正交关系满足正交关系78若将此正交关系与函数的傅里叶展开若将此正交关系与函数的傅里叶展开相结合，则可将所有的系数一一求出相结合，则可将所有的系数一一求出例如，为求例如，为求ak (k0)，，我们对上式做如下变换我们对上式做如下变换9利用正交关系后可得利用正交关系后可得故故同理可得同理可得10若引入记号若引入记号则有则有傅里叶级数傅里叶级数的展开公式的展开公式113、级数收敛性、级数收敛性a. 首先证明当对傅里叶级数取有限项近似，即首先证明当对傅里叶级数取有限项近似，即在在 a0, ak, bk 满足傅里叶级数展开公式时取最小值满足傅里叶级数展开公式时取最小值平均平方误差平均平方误差12为此先对平均平方误差为此先对平均平方误差求关于求关于ak的导数，得的导数，得利用正交关系，有利用正交关系，有13同理可得同理可得由上式可见，由上式可见， 当当14我们有我们有也即平均平方误差也即平均平方误差取极值再由再由可见平均平方误差的这一极值为极小值。

可见平均平方误差的这一极值为极小值故级数取有限阶截断近似故级数取有限阶截断近似时的最佳系数，由傅里叶级数的展开公式给出时的最佳系数，由傅里叶级数的展开公式给出15b. 此时的残余平均平方误差为此时的残余平均平方误差为16利用较为复杂的推导可证利用较为复杂的推导可证当当 时时此时我们称此时我们称 f(x) 的傅里叶级数的傅里叶级数平均收敛平均收敛平均平方差为零）平均平方差为零）注意：傅里叶级数平均收敛并不意味着级数收敛，即便级数注意：傅里叶级数平均收敛并不意味着级数收敛，即便级数收敛，其结果也不一定等于收敛，其结果也不一定等于f(x) - 这是由于我们对这是由于我们对f(x)未作未作任何限制才造成的任何限制才造成的若对若对f(x)加入一些限制条件，则有加入一些限制条件，则有17c. 狄里希利定理狄里希利定理 (2) 在每个周期只有有限个极值点，则级数（在每个周期只有有限个极值点，则级数（5.1.3）收敛，且）收敛，且当函数当函数 f(x) 满足条件：满足条件：(1) 处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；则有则有18例例1 1、半波整流、半波整流otE(t)19区分区分 k k = 1 = 1 及及 k k > 1 > 1 两种情形两种情形2021oE(t)频率区分区分 k k = 1 = 1 及及 k k > 1 > 1 两种情形两种情形22二、奇函数及偶函数的傅里叶展开二、奇函数及偶函数的傅里叶展开若函数为奇函数若函数为奇函数: f(x) = -f(-x)若函数为偶函数若函数为偶函数: f(x)=f(-x)23oxf1-1-•例例2：方波的傅里叶展开：方波的傅里叶展开, 在一个周期内在一个周期内24N = 1N = 5N = 50N = 50 局部放大局部放大Gibbs 现象现象25tf-ll例例3：锯齿波的傅里叶展开：锯齿波的傅里叶展开, 在一个周期内在一个周期内26例例4：全波整流信号的傅里叶展开：全波整流信号的傅里叶展开, 在一个周期内在一个周期内otf/2-/21特点：特点：整流后产生直流整流后产生直流信号，无基频信信号，无基频信号，主要是偶倍号，主要是偶倍频信号。

频信号27三、有限区间上函数的三、有限区间上函数的傅里叶傅里叶展开展开在本课程第二部分数学物理方程中，经常需要求解只在某在本课程第二部分数学物理方程中，经常需要求解只在某一有限区间一有限区间[ [a,ba,b] ]上有定义的函数上有定义的函数f(xf(x) )此类函数一般受此类函数一般受限于两类边界条件：限于两类边界条件：对这两种函数的求解，需要利用傅里叶级数将其在对这两种函数的求解，需要利用傅里叶级数将其在[a,b]上展开上展开f(a)=f(b)=0f’(a)=f’(b)=0abab28为此，首先做坐标变换为此，首先做坐标变换0b-a0b-a再做定义域延拓，以构成一周期函数再做定义域延拓，以构成一周期函数0b-a0b-a29再利用傅里叶级数展开公式再利用傅里叶级数展开公式0b-a0b-a一般来讲，对左图和右图所示函数，一般来讲，对左图和右图所示函数，a ak k和和b bk k均不为零，故均不为零，故300b-a0b-a函数的展开项不满足边界条件，这为问题的求解带来困难函数的展开项不满足边界条件，这为问题的求解带来困难 (chapter 8)31如何规避这一困难？应对如何规避这一困难？应对f(x)视其边界条件，分别进行奇视其边界条件，分别进行奇偶延拓。

偶延拓0b-a0b-a-b+a-b+a这样函数的每一展开项均满足边界条件，方便第这样函数的每一展开项均满足边界条件，方便第8章中问章中问题的求解题的求解32四、复数形式的傅里叶展开四、复数形式的傅里叶展开对于实函数，有对于实函数，有取一复指数级数取一复指数级数可将周期函数进行可将周期函数进行傅里叶展开傅里叶展开可得展开公式系数可得展开公式系数利用利用33一、首先考虑一个定义区间为一、首先考虑一个定义区间为 - < x < + 的函数的函数 f(x)的傅的傅§5.2 傅里叶积分和傅里叶变换傅里叶积分和傅里叶变换里叶变换问题里叶变换问题运用上节傅里叶级数理论对运用上节傅里叶级数理论对f(x)进行处理时，遇到两个困难进行处理时，遇到两个困难• 函数函数f(x)为非周期函数为非周期函数• 函数函数f(x)定义域为负无穷到正无穷，而非一有限区间定义域为负无穷到正无穷，而非一有限区间为解决这些困难为解决这些困难• 把函数把函数f(x)近似等效为某一周期函数近似等效为某一周期函数g(x)• 再将再将g(x)展为傅里叶级数展为傅里叶级数• 最后另最后另l，并将求和化为求积分，并将求和化为求积分g(x+2l)=g(x)34再将再将f(x)截断出的部分进行周期延拓，以得到截断出的部分进行周期延拓，以得到g(x)首先对函数首先对函数f(x)进行窗口截断进行窗口截断g(x)x-llf(x)-llx1. 构造所需要的周期函数构造所需要的周期函数g(x)352. 利用上一节的知识，对利用上一节的知识，对g(x)进行傅里叶展开进行傅里叶展开：：引进引进则则36b. 余弦项部分余弦项部分则则a. 常数项部分常数项部分3. 令令l, 并将求和化为求积分并将求和化为求积分37c. 正弦项部分正弦项部分38傅里叶傅里叶 积分积分傅里叶傅里叶 变换变换傅里叶积分定理：傅里叶积分定理：若函数若函数f(x)在区间在区间 上满足上满足(1) f(x) 在任一有限区间上满足狄里希利条件在任一有限区间上满足狄里希利条件,(2) f(x)在在 上绝对可积上绝对可积 (即即 收敛收敛)，，则则f(x)可表成傅里叶积分，且可表成傅里叶积分，且39当当f(x)为奇函数时，只有为奇函数时，只有sin部分部分当当f(x)为偶函数时，只有为偶函数时，只有cos部分部分40傅里叶正弦变换傅里叶正弦变换傅里叶余弦变换傅里叶余弦变换若函数若函数f(x)的定义域为的定义域为 0 < x < + ，则对，则对f(x)的傅里叶分析的傅里叶分析应如何进行？应如何进行？若若f(0)=0, 则可对则可对f(x)进进行奇延拓，将定义域扩行奇延拓，将定义域扩展到展到(-,+),此时得到此时得到若若f’(0)=0, 则可对则可对f(x)进进行偶延拓，将定义域扩行偶延拓，将定义域扩展到展到(-,+),此时得到此时得到41解：解：tf(t)T-Th例例1 方波脉冲方波脉冲的傅里叶变换的傅里叶变换f(x)为偶函数，故为偶函数，故信号为连续谱，方信号为连续谱，方波的存在可对任意波的存在可对任意一频段产生干扰。

一频段产生干扰42例例2 正弦波串的傅里叶变换正弦波串的傅里叶变换f(t)包含有包含有N个振荡周期个振荡周期43解：解： f(x)为奇函数，故为奇函数，故44信号振幅谱的峰值处在信号振幅谱的峰值处在正弦波的频率正弦波的频率 0处，频处，频谱峰的宽度谱峰的宽度并不为零并不为零当当N时时, 0, 波串波串信号过渡到单色情形信号过渡到单色情形45二、复数形式的傅里叶二、复数形式的傅里叶变换变换傅里叶傅里叶变换的变换的实数形式实数形式F( )称为称为f(x) 的傅里叶变换的傅里叶变换 f(x)称称为为F( )逆傅里叶变换逆傅里叶变换可被简化为复数形式（优点：简单明了）可被简化为复数形式（优点：简单明了）46推导过程：推导过程：利用利用47当当 >0时，时，f(x)称称为为F( )逆傅里叶变换逆傅里叶变换48当当 <0时，时，故不论故不论 正负，总有正负，总有F( )称为称为f(x) 的傅里叶变换的傅里叶变换49一些时候也可将傅里叶变换与逆变换写为更对称形式一些时候也可将傅里叶变换与逆变换写为更对称形式傅里叶变换与逆变换也可用符号来代表傅里叶变换与逆变换也可用符号来代表注：对称形式仅供同学了解，作业与考试一律采用非对称形式注：对称形式仅供同学了解，作业与考试一律采用非对称形式50其中其中例例3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换51三、傅里叶变换的基本性质三、傅里叶变换的基本性质:（（1）导数定理）导数定理:证：证：52（（2）积分定理）积分定理:证：证：记记则则即即53令令（（3）相似性定理）相似性定理:证：证：则则54令令(4) 延迟定理延迟定理:证：证：则则55(5) 位移定理位移定理:证：证：56证：证：交换积分次序交换积分次序(6) 卷积定理卷积定理:其中卷积定义为其中卷积定义为:57在对在对x的积分中，令：的积分中，令：则则58四、多重傅里叶积分四、多重傅里叶积分例如在例如在3 维情形下，我们有：维情形下，我们有：在本课程第二部分在本课程第二部分“数学物理方程数学物理方程”中，经常需要对包中，经常需要对包含多个自变量的函数进行傅里叶展开，此时可将含多个自变量的函数进行傅里叶展开，此时可将1维公维公式进行扩展。

式进行扩展公式的证明可通过对公式的证明可通过对x,y,z依次进行傅里叶展开来完成依次进行傅里叶展开来完成59 引入引入对对n 维情形，同样可得到：维情形，同样可得到：则有一简便记法则有一简便记法60§5.3  函数函数 (Dirac Delta Function)一、一、函数的用途与定义函数的用途与定义1. 函数是研究函数是研究“线性系统线性系统”响应的一个重要工具响应的一个重要工具2. 线性系统指的是满足叠加原理的系统线性系统指的是满足叠加原理的系统61现实世界中所有的系统严格来讲均是非线性的，但当输入现实世界中所有的系统严格来讲均是非线性的，但当输入信号幅度较小时，可将系统视为线性系统信号幅度较小时，可将系统视为线性系统RC静电学系统静电学系统输入：输入：输出：输出：RC电路系统电路系统输入：输入：输出：输出：623. 对线性系统来讲，可利用叠加原理对其输出进行分析：对线性系统来讲，可利用叠加原理对其输出进行分析：a. 首先对输入信号首先对输入信号fin(x)进行分解进行分解原始信号原始信号x轴离散化轴离散化离散化步长：离散化步长： xxfin(x)xfin(x) x线性系统线性系统63xfin(x) y轴离散化轴离散化以矩形代替曲线以矩形代替曲线xfin(x)x轴离散化轴离散化b. 因而从数学上得到因而从数学上得到 x x64c. 令令 x0, 将求和转换为求积分将求和转换为求积分改写标记改写标记并引入并引入得到得到65d. 将将(x-x’)视为一点源或瞬时源，利用叠加原理则有线视为一点源或瞬时源，利用叠加原理则有线性响应的解性响应的解x(x-x’)h(x-x’)xx’h(x)在物理学中一般称为格林函数，在信号与系统中一般在物理学中一般称为格林函数，在信号与系统中一般称为冲击响应函数。

称为冲击响应函数664. 函数的函数的“定义定义”：：xx/2xo-x/2上式仅为上式仅为函数的一形式上的定义，在数学上不严谨，严格函数的一形式上的定义，在数学上不严谨，严格的定义需通过广义函数分布理论来进行的定义需通过广义函数分布理论来进行关于关于(x)的积分值需满足充要条件的积分值需满足充要条件(x)存在着多种类似的存在着多种类似的“定义定义”，这些，这些“定义定义”有以下的共性：有以下的共性：一定一定为为不一不一定为定为067二、二、 函数的性质函数的性质1.   函数是偶函数，其导数是奇函数函数是偶函数，其导数是奇函数2.   函数的积分函数的积分 H(x)：阶跃函数或亥维赛单位函数：阶跃函数或亥维赛单位函数tH(t)o168则则3. 函数的函数的  展开展开给定给定  函数的挑选性函数的挑选性4. 函数的函数的  函数函数 设设(x)=0的实根的实根 x1,x2, … xn 全为单根全为单根 则则证明：证明：因因69则有则有xo上式可表达为上式可表达为Dirac 梳梳70对对在在[xn-,xn+ ]积分积分左边左边:右边：右边： 从而从而:特例：特例：71三、三、 函数的其他函数的其他“定义定义”形式形式除了除了 函数的函数的 矩形波矩形波“定义定义”以外，以外，函数还存在着多种其他的函数还存在着多种其他的“定义定义”，如，如以及以及72我们要验证这些我们要验证这些 函数的函数的 “定义定义”均满足一统一标准：均满足一统一标准：也即关于也即关于(x)的定积分仅在积分区间的定积分仅在积分区间[a,b]包含包含(x)的奇异点的奇异点x=0时才不为零。

时才不为零01. 易于验证易于验证满足这一标准满足这一标准且且732. 下面考虑下面考虑a. 若若 0 [a, b], 并假定并假定 0a>0故故83当当 a0当当x<087故故则有则有但但再考虑到再考虑到为为 的的奇函数奇函数88也即也即在上式两边对在上式两边对x求导，得到求导，得到89例例1求求的傅里叶变换的傅里叶变换解：解：90例例2求阶跃函数求阶跃函数的傅里叶变换的傅里叶变换解：解：由于由于发散发散故故传统意义上的傅里叶变换不存在。

传统意义上的傅里叶变换不存在下面考虑下面考虑这是由于这是由于91因为因为故故已证已证又又故故（定义）（定义）92五、多维五、多维  函数和其他形式的函数和其他形式的   函数：函数：1. 多维多维  函数的定义：函数的定义：作为对一维情况的扩展，我们可以定义多维作为对一维情况的扩展，我们可以定义多维  函数函数即多维即多维  函数是多个一维函数是多个一维  函数的乘积函数的乘积特别重要的是二维的情形和三维的情形：特别重要的是二维的情形和三维的情形：二维直角坐标二维直角坐标三维直角坐标三维直角坐标93xy•2. 平面极坐标：平面极坐标：3. 柱坐标：柱坐标：若采用平面极坐标，则若采用平面极坐标，则这是由于这是由于94xyzo(x,y,z)r•4. 球坐标：球坐标：若采用三维球坐标，则若采用三维球坐标，则这是由于这是由于95例例1、求、求 f(t)=sin 0t 的的傅里叶傅里叶变换解：解：即即96例例2、求、求F( )= sin t0 的逆的逆傅里叶傅里叶变换解解：即即97本章本章基本要求：基本要求： 1、掌握周期函数、有限区间上的、掌握周期函数、有限区间上的 函数展为傅里叶级数的方法，函数展为傅里叶级数的方法， 非周期函数展为傅里叶积分的非周期函数展为傅里叶积分的 方法。

方法 2、掌握傅里叶变换的基本性质掌握傅里叶变换的基本性质 3、理解、理解  函数的意义，掌握广函数的意义，掌握广义义 函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换 。