近世代数课件--1.5 同态(8-9).ppt

§5 同态与同构（8－9节） • 5.1 最初的思想 • 5.2 同态映射与性质 • 5.3 同态的代数系统 • 5.4 可单向传递的性质 • 5.5 同构的代数系统及其意义5.1最初的思想• 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合.• 我们比较两个代数系统 和 .第一,我们需要一个映射 ;第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具体 的说,假如 和 是 的两个元,那么 和 都有意义 ,都是的元.保持运算即下面等式成立: • 上面的等式即:• 换一种表示，假定在 之下的像，5.2 同态映射与性质注: 同态映射简称为态射.• ＝{所有整数}, 的代数运算是普通加法. • , 的代数运算是普通乘法.• 定义1 一个 到 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, ,都有:  定义与例子• 例1 证明 ( 是 的任一元) • 是一个到的同态映射. • 证明 ……• 例2 : , 若是偶数, 若是奇数 • 证明: 是一个 到 的满射的同态映射. • 证明: 显然, 是 到 的满射.对于 的任意两 个整数 和 来说,分三种情况: • (1)若 , 都是偶数,那么 也是偶数 • , , • 所以, • (2)若 , 都是奇数……• (3)若 和 奇偶性相反,……….• 例3 : ( 是 的任一元) • 固然是一个 到 的映射,但不是同态映 射.因为,对于任意 的 和 来说,• 定义2 • (1)单同态:• (2)满同态:• (3)同构映射: 进一步的定义• 性质1 设 是三个代数系统,并且是两个同态映射(单同态、满同态 、同构映射).那么, 仍然是同态映射(单同态、满同态、同构映射) 性质• 性质2 设 是一个同构. 那么，也是一个同构.• 证明: • (1) 是双射 • (2) 保持运算. 看一个关键等式• 性质1 （1）反身性: （2）传递性: 注: 对称性不成立5.3 同态的代数系统• 定义 和 是两个代数系统,如果存在 一个 到 的同态满射 ,就称 和 同 态. • 记号: 5.4 可单向传递的性质• 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, 到 同态.那么,（1）若 适合结合律, 也适合结合律；（2）若 适合交换律, 也适合交换律.• 于是• 证明 我们用 来表示 到 的同态满射.（1）假定 是 的任意三个元. 由于 是同态满 射,我们在 里至少找得出三个元 , , 来,使得 在 之下,• (2)同学们按照上面的方法,给出证明. 注: 这种通过同态映射过渡的方法在证明具有 一般性• 定理2 假定, 都是集合 的代数运算, 都是 集合 的代数运算,并且存在一个 到 的满射 , 使得 与 对于代数运算 来说同态,对于代数 运算 来说也同态.那么(1) 若 适合第一分配律, 也适合第一分配律.(2) 若 适合第二分配律, 也适合第二分配律.• 证明 ……• 注: , 由 的性质可以推出 具有同样的 性质; 反过来不成立.5.5 同构的代数系统及其意义定义定义 和 是两个代数系统,如果存在一个 到 的同构映射 ,就称 和 同态.• 记号: 自同态、自同构的概念可以自然的给出，同学们自己 做。

同构的代数系统意味什么例1 , ．0120 1 21 2 02 0 13 4 53453 4 54 5 35 3 40 1 2各 是 与的代数运算 与 的表．请比较两个运算表,方向异同之处?在A的运算表, 进行变换: 变成了什么?．它们可以用统一成为一个运算表……小结• 现在我们看两个任意的，对于代数运算 和 来说 是同构的集合 和 ．我们可以假定，• 并且在 与 间的同构映射 之下，， ， ，… • 由于同构映射的性质，我们知道，抽象地来看， 与 这两个代数系统，没有任何区别（只 有命名上的不同而已）.• 作业: • P23: 1 • P26:1,3。