正螺面的性质.doc

正螺面的性质摘要：正螺面是经典微分几何曲面论中的重要研究对象,本身具有很多重要的几何性质本文讨论了正螺面的坐标曲线网特性、等距性、直纹性以及该曲面上区域面积的极小性等性质关键词:正螺面；圆柱螺线；直纹面；极小曲面1 正螺面的图形定义及参数表示正螺面的图形如图（一）所示定义1：由一条垂直于螺旋轴的直线作螺旋运动时所画出的曲面叫正螺面 旋转是以定角速度顺着轴方向，且移动的距离与转角与(轴交角)成正比,即正螺面的母线与螺线的“轴”垂直相交，当交点沿轴移动时,母线绕轴旋转，且点转动的距离与母线转动的角度成正比 我们把轴取作旋转轴, 点为正螺面上任意一点, 轴,设，为在平面上的投影，与轴的交角为表示螺距(比例系数)则正螺面的方程可写成:即 定义2:圆柱螺线的主法线曲面（直纹面）为正螺面. 下面证明圆柱螺线的主法线曲面是正螺面，对圆柱螺线，其主法线为主法面上任意一点的矢径是令得 为正螺面. 下面讨论正螺面的参数方程.参数曲线：当（常数）时，-曲线是圆柱螺线.当（常数）时，-曲线是直母线，即在平面上的一条直线.2 正螺面的第一基本形式、第二基本形式2.1 第一基本形式 正螺面的参数方程：则所以，，故第一基本形式Ⅰ，若以表示曲面上曲线的弧长，则Ⅰ这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长，设曲线上点.则弧长为2.2 等距变换曲面之间的一个变换，如果它保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）.若令，即得平面上悬链线绕轴旋转所得的悬链面。

悬链面的参数方程 (1),其第一基本形式是 Ⅰ (2)若令 (3)则 将(2)化为 Ⅰ (4)这与正螺面 (5)的第一基本形式一致.就是说，整个悬链面(1)在正螺面(5)上，的一段可互相贴合，公式(3)则是从(1)到(5)的等距变换公式.在此等距变换里，悬链面上的经线（悬链线）对应于正螺面上的母线，而悬链面上的纬线（圆）则对应于正螺面上的圆柱螺线.若将正螺面贴在悬链面上，则正螺面的每一条母线就在悬链面的一条悬链线上，即有无穷多条母线贴在同一条悬链线上，而正螺面的每一条圆柱螺线则绕在悬链面的一个圆（纬线）上无穷多次就是说，点与点之间的一一对应只有在的限制下的区域内才能成立.以上内容说明了,两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当选择参数后，他们具有相同的第一基本形式.2.3 第二基本形式 , ， ，，，，第二基本形式Ⅱ例1 证明对于正螺面处处有.证明：因为正螺面方程为所以，，，即命题得证.3 正螺面的性质3.1 正螺面的坐标曲线网是正交曲线网、渐近曲线网和等温网. 性质1　正螺面的曲纹坐标网是正交网. 证明:　设正螺面则　 , 所以　因此坐标曲线网是正交网。

性质2　正螺面的坐标曲线网是渐近曲线网.证明:　设正螺面的方程为:得 , ， ，所以　由于，所以正螺面坐标曲线网是渐近曲线网.例2 求证在正螺面上有一族渐近曲线是直线，另一族渐近曲线是螺旋线.证明： 正螺面的方程为由性质2知，正螺面坐标曲线网是渐近曲线网.当（常数）时，-曲线是螺旋线.当（常数）时，-曲线是直母线，即在平面上的一条直线.性质3 正螺面的坐标曲线网是等温网.证明： 正螺面的方程为令则第一基本形式可化为等温网形式I参数称、为等温参数. 所以正螺面是等温网.3.2 正螺面的直纹性 性质4　正螺面是直纹曲面,但不可展. 证明:　正螺面的方程为: (6)是参数,其中 是在半径为1的圆柱面上的圆柱螺线.是平行于面的矢函数.当(常数) 时,它是一个常矢量,此时(6)式变为为一直线的矢量式方程.当取遍所有实数时得一族直线,该族直线恰好构成正螺面,即正螺面是以圆柱螺线为导线, 以为直母线的直纹曲面. 下证正螺面是不可展的.方法一: 因为故正螺面是直纹面但不可展.方法二:不可展性还可因高斯曲率非零来证因为得 , ， ，所以　所以故正螺面是直纹面但不可展.3.3 正螺面是极小曲面 性质5　正螺面上的任意光滑曲线围成的曲面区域最小,换句话说, 正螺面是极小曲面.证明:　由正螺面的方程其第一、第二基本形式分别为ⅠⅡ即 , 从而可得平均曲率所以正螺面是极小曲面.这就证明了以空间曲线为边界的曲面区域以正螺面区域面积为极小.例3 证明正螺面不是可展曲面.证明:因为所以,则有所以曲面是不可展曲面.例4 求正螺面的主曲率、主方向、曲率线.解: 因为 , 代入主曲率的公式得所以 ， 又因为正螺面在一点的主方向为，满足关系式化简得即两个主方向为而曲率线的微分方程满足化简得积分得则其曲率线为 .例5 求正螺面上的测地线.证明：因为所以测地线的微分方程可以化为 （7） （8）对（7）式积分（常数）于是将此式代入第（8）并积分，则所求测地线为.通过简单的对正螺面5个性质进行证明，我们知道正螺面在微分几何中是相当重要的一种曲面.当然它还有许多其他的性质，有待于我们在以后的学习中讨论研究.参考文献：[1]梅向明,黄敬之.微分几何[M].北京：高等教育出版社, 1996:15-129.[2]宋卫东.微分几何[M].北京：科学出版社，2009:63-97.[3]周建伟.微分几何[M].北京：高等教育出版社.2008.4:67-68.[4]吴大任.微分几何讲义[M].人民教育出版社.1984:55-132.10。