初三数学圆首师大版知识精讲 试题.doc

初三数学初三数学圆圆首师大版首师大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆 1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆 2. 主要定理： （1）垂径定理及其推论 （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 （3）圆周角定理、弦切角定理及其推论 （4）圆内接四边形的性质定理及其推论 （5）切线的性质及判定 （6）切线长定理 （7）相交弦、切割线、割线定理 （8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质 （9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积 （10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算 （11）正 n 边形的有关计算 圆这一章中的知识点包括 5 个 B 级，13 个 C 级，3 个 D 级水平的共 21 个知识点，多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要二. 中考聚焦： 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：内容 圆的有关性质 直线和圆的位置关系 圆与圆的位置关系 正多边形和圆 所占分数百分比 5%15% 8%16% 3%12% 2%8% 圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。

三. 知识框图： 圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆 圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点） 直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点） 圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线 正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）【典型例题典型例题】 例 1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒 0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点 120m以外的安全区域这个导火索的长度为 18cm，那么点导火索的人每秒钟跑 6.5m 是否安全？ 分析：分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以 120m 为半径的圆的外部，如图所示： O 120m 爆破中心 安全区域 解：解：导火索燃烧的时间为180920.( )s 相同时间内，人跑的路程为2065130.()m 人跑的路程130120mm 点导火索的人非常安全 例 2. 已知梯形 ABCD 内接于O，ABCD，O 的半径为 4，AB6，CD2，求梯形 ABCD的面积。

分析：分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦 AB、CD 间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高为了便于运用垂径定理，故作 OECD 于 E，延长 EO 交 AB 于 F，证OFAB 此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论 解：解：分两种情况讨论： （1）当弦 AB、CD 分别在圆心 O 的两侧时，如图（1）： 过 O 作 OECD 于 E，延长 EO 交 AB 于 F 连 OC、OB，则 CEDE ABCD，OECD OFAB，即 EF 为梯形 ABCD 的高 在 RtOEC 中，EC1，OC4 OEOCEC22224115 同理，OF 7 EFOEOF157 SABCD梯形122615741574 154 7 （2）当弦 AB、CD 在圆心 O 的同侧时，如图（2）： 过 O 作 OECD 于 E，交 AB 于 F 以下证法同（1），略 EF157 SABCD梯形122615741574 154 7 梯形的面积为或ABCD41574157 例 3. 如图，已知 AB 为O 的直径，P 是 OB 的中点，求 tanCtanD 的值 分析：分析：为了求 tanCtanD 的值，需要分别构造出含有C 和D 的两个直角三角形。

而 AB 是直径，为我们寻找直角创造了条件连 BC、BD，则得到 RtACB 和 RtADB可以发现ACDABD，ADCABC，于是，可以把 tanCtanD 转化为tantan，则可求ABDABCADBDACBCADACBDBC 解：解：连结 BC、BD AB 是O 的直径，ACBADB90 ACDABD，ADCABC tantantantanCDABDABCADBDACBCADACBDBC 作 AECD 于 E，作 BFCD 于 F 则AECADB ACAEABAD ACADAEAB 同理，BDBCBFAB tantanCDAEABBFABAEBF APEBPF AEBFAPBP P 为半径 OB 的中点 ，APBPAEBF313 tanCtanD3 例 4. 如图，是等边三角形， 是上任一点，求证：ABCDBCDBDCDA 分析：分析：由已知条件，等边ABC 可得 60角，根据圆的性质，可得ADB60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段 DC 证明：证明：延长 DB 至点 E，使 BEDC，连结 AE ABC 是等边三角形 ACBABC60，ABAC ADBACB60 四边形 ABDC 是圆内接四边形 ABEACD 在AEB 和ADC 中， BECDABEACDABAC AEBADC AEAD ADB60 AED 是等边三角形 ADDEDBBE BEDC DBDCDA 说明：本例也可以用其他方法证明。

如： （1）延长 DC 至 F，使 CFBD，连结 AF，再证ACFABD，得出 ADDF，从而DBCDDA （2）在 DA 上截取 DGDC，连结 CG，再证BDCAGC，得出 BDAG，从而DBCDDA 例 5. 如图，已知四边形 ABCD 内接于O，AB 是直径，ADDC，分别延长 BA、CD 交于点E，BFEC 交 EC 的延长线于 F，若 EAAO，BC12，求 CF 的长 分析：分析：在 RtCFB 中，已知 BC12，求 CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解 解：解：连结 OD，BD ADDCADDC， ABCAOD ODBC ODBCEOEB EAAO，EAAOBO BCODOD1212238， AB16，BE24 四边形 ABCD 内接于O EDAEBC E 是公共角 EDAEBC ADBCEAECEDEB 设 ADDCx，EDy，则有 xyxy12248 解方程组，得：x 4 2 AD4 2 AB 为O 的直径 ADBF90 又DABFCB RtADBRtCFB ADCFABBCCF，即4 21612 CF3 2 说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。

此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法 例 6. 如图，已知等腰ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 、 ，过 作 的切线交于 ，若 ，求的长FDDOFCEAF7cosBCE35 解：解：连结 FD AB 是直径，ADBC ABAC，BDDC，FADDAB 四边形 ABDF 是圆内接四边形 CFDB C 是公共角 ABCDFC CDACDFAB ABAC CDDF （也可以证CFDB，ABAC，BC，CCFD，CDDF DE 切O 于 D FADEDF 又CDEEDFFADDAB CDEDAB CDEEDF CDFD CEEF，DECF cosBBC35， cosC35 在中，Rt ACDCCDACcos35 设 CD3x，AC5x 在中，即Rt CDECECCDECxcos353 ECx95 ACAFCE 2 57185xx x 5 EC9 例 7. 如图，相交两圆的公共弦长为 120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边求两圆相交弧间阴影部分的面积 解：解：公共弦 AB120 aR46120 rRa662422221206060 3 OaRABo144601202260 2， rRaOo44242222260 2606090， SSSRa rAmBAO BAO B弓形扇形22903601218003600424 4 SSSRa rAnBAO BAO B弓形扇形11603601224003600 3626 6 SSSAmBAnB阴影弓形弓形42003600 13 两圆相交弧间阴影部分的面积为 42003600 132cm 例 8. （2003 年黄冈市中考题）一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的 20 支香烟。

打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示经测量，一支香烟的直径直径约为0.75cm，长约为 8.4cm （1）试计算烟盒顶盖 ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值） （2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173. 解题点拨：解题点拨：四边形 ABCD 中，AD 长为 7 支香烟的直径之和，易求；求 AB 长，只要计算出如图（2）中的 O1E 长即可 解：解：（1）如图（2），作 O1EO2O3 O OO OO O12233107534. O E134323 38 ABcm23 38343 333 ADcm734214 四边形 ABCD 的面积是： 2143 33463 363162cm （2）制作一个烟盒至少需要纸张： 263 363163 334842148414409614412 . cm 例 9. 在直径为 20cm 的圆中，有一弦长为 16cm，求它所对的弓形的高 解：解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形 H A B C O G 如图，HG 为O 的直径，且 HGAB，AB16cm，HG20cm OHcmBCABcm10128， OCOBBCcm22221086 CHOHOCcm1064 CGOCOGcm61016 故所求弓形的高为 4cm 或 16cm 例 10. 的直径，过 点有两条弦，求OAB2cmAAC =2cmADcm3CAD 所夹圆内部分的面积。

解：解：符合题设条件的图形有两种情况： （1）圆心 O 在CAD 的内部，如图（1），连结 OC、OD，过 O 作 OEAD 于点 E OAOCAC12， OCAB SSSAOCBOC1121 1901360124扇形 OAAEAD11232， OEOEOA132121222，即 SSSAODBOD212123601360346扇形 SSScm122124346234512 （2）圆心 O 在DAC 的外部时，如图（2），有： SSScm12212434623412 所夹圆的内部的面积为：或CADcmcm2345122341222 例 11. 已知圆 中，、为两条弦，的度数为，的度数为OABCDACBDoo13090 ,MNABCDMON、 分别为、的中点，求的度数 分析：分析：由已知条件可知 AB、CD 弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况 解：解：（1）当 AB、CD 不相交时，且 AB、CD 在圆心的两侧，如图（1）连结 OD、OB M、N 分别是弦 AB、CD 的中点，OD、OB 过圆心 O OMONABCD、的延长线平分、 BOMmABDONmCD1212， BOMDONmABCD12() ACBD的度数为，的度数为13090 CDAB的度数为36013090140 BOMDON70 BODmBD90 MON9070160图（1） （2）当 AB、CD 不相交，且在圆心 O 的同侧时，如图（2），连结 OB、OC 同理可证，BOMmABCONmCD1212 而 MONBOMCONBOCmADCDBC1212 12()ADDCBCDC。