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导数的应用一：求切线方程导数的几何意义：在处的导数就是在处的切线斜率曲线C：y=f（x）在其上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y－f（x0）=（x0）（x－x0）.问题1：如何求解曲线的切线？求切线问题的基本步骤：找切点 求导数 得斜率题1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.练习1：已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．练习2： 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= .变式1:求曲线y=x2过点(0,－1)的切线方程变式2．已知曲线（1） 求曲线在点处的切线方程；（2） 求曲线过点的切线方程；变3：已知，求曲线在处的切线斜率是多少？题2、在曲线上求一点P，使过点P点的切线与直线平行题3、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式题4、 曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=－2x2－1相切，求点P的坐标.【能力提高练习】1.对任意x，有（x）=4x3，f（1）=－1，则此函数为A.f（x）=x4－2 B.f（x）=x4+2C.f（x）=x3 D.f（x）=－x42.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为A.6 B.18 C.54 D.813．（2004年全国，3）曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为A.y=3x－4 B.y=－3x+2 C.y=－4x+3 D.y=4x－54.函数f（x）=（x+1）（x2－x+1）的导数是A.x2－x+1 B.（x+1）（2x－1） C.3x2 D.3x2+15.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为3x+y+3=0，则A. （x0）>0 B. （x0）<0 C. （x0）=0 D. （x0）不存在6. （2009全国卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 7. （2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 8. 曲线在点（1，－1）处的切线的倾斜角为_______. 9．（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。

7.已知抛物线通过点，且在处的切线为，则 ， ， 10．函数的导数为 11．已知，若，则的值为 12．曲线的平行于直线的切线方程为 13.若抛物线y=x2－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.14（2004年重庆，15）已知曲线y=x3+，则在点P（2，4）的切线方程是______.15（2004年湖南，13）过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______.16.设函数f（x）=（x－a）（x－b）（x－c）（a、b、c是两两不等的常数），则++=________.17、求曲线在处的切线的斜率18．曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.19. （2009浙江文）已知函数 ．若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；20． 求曲线的过点A（2，-2）的切线方程21．在实数集R上定义运算： （I）求的解析式； （II）若函数处的切线斜率为—3，求此切线方程； 22．若直线y=3x+1是曲线y=x3－a的一条切线，求实数a的值.【能力提高练习】参考答案1答案：A 2解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.答案：C3．∵点（1，－1）在曲线上，y′=3x2－6x，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y+1=－3（x－1）.4解析：∵f（x）=x3+1，∴（x）=3x2.答案：C5解析：由题知（x0）=－3.答案：B7解析：∵y′=2x－1，∴y′|x=－2=－5.又P（－2，6+c），∴=－5.∴c=4.答案：4 8）4x－y－4=0 （9）2x－y+4=010解析：∵f（x）=x3－（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x－abc，∴（x）=3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca.又（a）=（a－b）（a－c），同理（b）=（b－a）（b－c）， （c）=（c－a）（c－b）.代入原式中得值为0.答案：011．解：在x=x0处曲线y=x2－1的切线斜率为2x0，曲线y=3－x3的切线斜率为－3x02.∵2x0·（－3x02）=－1，∴x0=.答案： 12解：∵tan=3x2－1，∴tan∈［－1，+∞）.13解：（1）kAB==－2，∴y=－2（x－4）.∴所求割线AB所在直线方程为2x+y－8=0.（2）=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3.∴C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y－9=0.14解：设切点为P（x0，y0），对y=x3－a求导数是=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1.（1）当x=1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×1+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3－a上，∴4=13－a.∴a=－3.（2）当x=－1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×（－1）+1=－2，即P（－1，－2）.又P（－1，－2）也在y=x3－a上，∴－2=（－1）3－a.∴a=1.综上可知，实数a的值为－3或1.6解 ,故切线方程为,即 故选B.7，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）8解析：，所以倾斜角为9解析：，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即18解析：=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∴x=－1时，切线最小斜率为3，此时，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x－y－11=0.19解析 ：由题意得 又 ，解得，或20【错因诊断】 显然点A在曲线上，过点A（2，-2）的切线方程为，即【正解】 设切点坐标为，则在点P处的切线方程为过点A（2，-2），且，整理得即或，当时，切点为，此时切线方程为，当时，切点为，此时切线方程为过点A（2，-2）的切线方程为或。

21【正解】（I） （II）由条件得 而 题4解：设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1－x02，而此直线与曲线y=－2x2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判别式Δ=4x02－2×4×（2－x02）=0.解得x0=±，y0=.∴P点的坐标为（，）或（－，）.第 5 页。