三种常用的正交坐标系.pdf

1三维空间任意一点的位置可通过三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线三条相互正交线的交点的交点来确定在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系直角坐标系、、柱坐标系柱坐标系和和球坐标系球坐标系三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为系，称为正交坐标系正交坐标系；三条正交线称为；三条正交线称为坐标轴坐标轴；描述；描述坐标轴的量称为坐标轴的量称为坐标变量坐标变量1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系22:29:522xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量xyzdre dxe dye dzdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y 体积元体积元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐标变量坐标变量, ,x y z坐标单位矢量坐标单位矢量,,xyze e e点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面）oxyz0xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P直角坐标系直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd一、直角坐标系一、直角坐标系矢量表示：矢量表示：xxyyzzAA eA eA exyzeeeyzxeeezxyeee1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系常矢量常矢量3二、柱坐标系二、柱坐标系zeeezeeezeee, ,z 坐标变量坐标变量,,ze e e坐标单位矢量坐标单位矢量22:29:521.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系( , , ), ,, , M x y zMxoyPzM 设为空间内一点，并设点在面上的投影的极坐标为则这样的三个数就叫点的柱面坐标．0, 02 ,  .zxyzo( , , )M x y z( , )P 规定：简单地说，柱面坐标就是简单地说，柱面坐标就是 xoyxoy面上的极坐标面上的极坐标+ +z z坐标坐标4为常数为常数z为常数如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平面．面．        zzyx    sincos           zzxyyxarctan22  柱坐标系与直角坐标系的变换关系：柱坐标系与直角坐标系的变换关系：xyzOP(P(ρρ, ,φφ,z),z)φρzevzevrev1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系5cossinsincosxyxyeeeeee cossinsincosxyeeeeee柱坐标系与直角坐标系间坐标分量变换关系柱坐标系与直角坐标系间坐标分量变换关系cossin0sincos0001xyzzAAAAAA cossin0sincos0001xyzzAAAAAA柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系22:29:521.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系矢量表示矢量表示zzAA eA eA e dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle   zree z位置矢量位置矢量ddddzeere z 线元矢量线元矢量dd d dVz  体积元体积元面元矢量面元矢量柱坐标系中的线元、面元和体积元柱坐标系中的线元、面元和体积元1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系xyzOP(P(ρρ, ,φφ,z),z)φρzevzevrev)ddeeee 随 变化,d(7柱坐标系下的矢量运算：柱坐标系下的矢量运算：zzAA eA eA e()()()zzzABeABeABeABzzA BA BA B() ()zzzzA BA eA eA eB eB eB ezzzeee A BAAABBB()()()zzzzzeA BA BeA BA BeA BA BzzBB eB eB e加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：22:29:521.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系8( , , )M x y zMrrOMOMzzxOPPMxoyrM设为空间内一点，则点可用三个有次序的数 ， ，来确定，其中 为原点与点间的距离，为有向线段与轴正向所夹的角，为从正轴来看自 轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里为点在面上的投影，这样的三个数 ， ，就叫做点的球面坐标．0,r .20,0规定：规定：Pxyzo),,(zyxMr zyxA三、球坐标系三、球坐标系1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系, ,r 坐标变量坐标变量,,re e e坐标单位矢量坐标单位矢量reeereeereee9r 为常数为常数为常数如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球面；面；半平面．半平面．1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系球坐标系与直角坐标系的变换关系：球坐标系与直角坐标系的变换关系：sincossinsincosxryrzr  22222 arctanarctanrxyzxy z y x                 xyOzθ( , , )P r r eere10球坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系sin cossin sincoscos coscos sinsinsincosrxyzxyzxyeeeeeeeeeee sin coscos cossinsin sincos sincoscossinxryrzreeeeeeeeeee22:29:521.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系11球坐标系与直角坐标系间坐标分量变换关系球坐标系与直角坐标系间坐标分量变换关系sincossin sincoscos coscos sinsinsincos0xryzAAAAAAsin coscos cossinsin sincos sincoscossin0xryzAAAAAA22:29:521.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系12矢量表示：矢量表示：rrAAeA eA e  2dd dsin d drrrSe lle r  dd dsin d drzSel le rrdd dd drSel le r r球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元rre r位置矢量位置矢量dddsin drre re re r 线元矢量线元矢量2dsin d d dVrr 体积元体积元面元矢量面元矢量1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系xyOzθ( , , )P r r eere13球坐标系下的矢量运算：球坐标系下的矢量运算：rrAA eA eA e()()()rrrABe ABeABeABrrA BA BA B() ()rrrrA BA eA eA eB eB eB errreee A BAAABBB()()()rrrrre A BA BeA BA BeA BA BrrBB eB eB e加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：22:29:521.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系14三种坐标系有不同适用范围：三种坐标系有不同适用范围：1 1、直角坐标系适用于场呈、直角坐标系适用于场呈面对称分布面对称分布的问题求解，的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。

如无限大面电荷分布产生电场分布2 2、柱面坐标系适用于场呈、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布轴对称分布的问题求解，的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布如无限长线电流产生磁场分布3 3、球面坐标系适用于场呈、球面坐标系适用于场呈点对称分布点对称分布的问题求解，的问题求解，如点电荷产生电场分布如点电荷产生电场分布22:29:521.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系。