初中数学证明题常见辅助线作法规律.doc

初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀及几何规律汇编人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线辅助线，如何添？把握定理和概念还要刻苦加钻研，找出规律凭经验三角形图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连要证线段倍与半，延长缩短可试验三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，延长中线等中线四边形平行四边形出现，对称中心等分点梯形里面作高线，平移一腰试试看平行移动对角线，补成三角形常见证相似，比线段，添线平行成习惯等积式子比例换，寻找线段很关键直接证明有困难，等量代换少麻烦斜边上面作高线，比例中项一大片圆半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连切线长度的计算，勾股定理最方便要想证明是切线，半径垂线仔细辨是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连弦切角边切线弦，同弧对角等找完要想作个外接圆，各边作出中垂线还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦内外相切的两圆，经过切点公切线若是添上连心线，切点肯定在上面要作等角添个圆，证明题目少困难辅助线，是虚线，画图注意勿改变假如图形较分散，对称旋转去实验基本作图很关键，平时掌握要熟练解题还要多心眼，经常总结方法显切勿盲目乱添线，方法灵活应多变分析综合方法选，困难再多也会减虚心勤学加苦练，成绩上升成直线线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条.规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.求证：MN =AC证明：∵M是AB的中点，N是BC的中点∴AM = BM = AB ,BN = CN = BC∴MN = MB+BN = AB + BC = (AB + BC)∴MN =AC练习：1.如图，点C是线段AB上的一点，M是线段BC的中点.求证：AM = (AB + BC) 2.如图，点B段AC上，M是AB的中点，N是AC的中点.求证：MN = BC 3.如图，点B段AC上，N是AC的中点，M是BC的中点.求证：MN = AB 规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个.规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个.规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个.规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o.规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个.规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，若∠A = 45o,∠C = 55o,求∠E的度数.解：∠A＋∠ABE =∠E＋∠ADE ①∠C＋∠CDE =∠E＋∠CBE ②①＋②得∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE =∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE∵BE平分∠ABC、DE平分∠ADC，∴∠ABE =∠CBE，∠CDE =∠ADE∴2∠E =∠A＋∠C∴∠E = (∠A＋∠C)∵∠A =45o,∠C =55o,∴∠E =50o 三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE. 证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N 在△AMN中， AM＋ AN＞MD＋DE＋NE ① 在△BDM中，MB＋MD＞BD ②在△CEN中，CN＋NE＞CE ③①＋②＋③得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有，①AB＋AF＞BD＋DG＋GF②GF＋FC＞GE＋CE③DG＋GE＞DE∴①＋②＋③有AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P为△ABC内任一点， 求证：(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与BD的延长线交于D.求证：∠A = 2∠D证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线 ∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2∵∠A = ∠ACE －∠ABC∴∠A = 2∠1－2∠2又∵∠D =∠1－∠2∴∠A =2∠D规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， 求证：∠BDC = 90o＋∠A证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o ∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A① ∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2) ∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC② 把②式代入①式得 2(180o－∠BDC)= 180o－∠A 即：360o－2∠BDC =180o－∠A ∴2∠BDC = 180o＋∠A ∴∠BDC = 90o＋∠A规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB， 求证：∠BDC = 90o－∠A证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB ① 2∠2 =∠A＋∠ABC ②①＋②得2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A∴（∠1＋∠2）= 90o＋∠A∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴∠BDC = 180o－(90o＋∠A)∴∠BDC = 90o－∠A规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B， AD⊥BC于D， AE平分∠BAC.求证：∠EAD = (∠C－∠B)证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =∠BAC∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)∴∠EAC = 〔180o－(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BC∴∠DAC = 90o －∠C∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC∴∠EAD = 〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C) = 90o－(∠B＋∠C)－90o＋∠C = (∠C－∠B)如果把AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件不变，结论为∠EFD = (∠C－∠B).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC证法（一）：延长BD交AC于E，∵∠BDC是△EDC 的外角，∴∠BDC＞∠DEC同理：∠DEC＞∠BAC∴∠BDC＞∠BAC证法（二）：连结AD，并延长交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF＞∠BAD同理∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：在DA上截取DN = DB，连结NE、NF，则DN = DC 在△BDE和△NDE中，DN = DB∠1 = ∠2ED = ED∴△BDE≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN中，EN＋FN＞EF∴BE＋CF＞EF规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FM△BDE和△CDM中， BD = CD∠1 = ∠5ED = MD∴△BDE≌△CDM∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o∴∠3 ＋∠2 = 90o即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF和△MDF中ED = MD∠FDM = ∠EDFDF = DF∴△EDF≌△MDF∴EF = MF∵在△CMF中，CF＋CM ＞MFBE＋CF＞EF（此题也可加倍FD，证法同上）规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全。