三角形各种心的性质归纳.docx

三角形各种心的性质归纳三角形各种心的性质研究 一、基础知识 三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨． 1．重心：设G是DABC的重心，AG的延长线交BC于D，则，(1)BD=DC， AG:AD=2:3 ； S2AB2+2AC2-BC2AD=，SDGBC=DABC． 432.外心：设⊙O是DABC的外接圆，OD^BC于D交⊙O于E，则 0OA=OB=OC=R；ÐBOC=2ÐA或2(180-ÐA)； ⌒⌒abcBD=DCBE=EC；SDABC==2RsinAsinBsinC 4R23.内心：设DABC的内心圆⊙IÐBIC=90°+(2)AP=rcotÐA=1ÐA; 21b+c-a1r(a+b+c); =(a+b+c)-a；(3)DB=DI=DC；(4)SDABC=22224.垂心：设O,G,H分别是DABC的外心，重心，垂心，OD^BC于D，AH的延长线交外接圆于H1，则，H与H1关于BC成轴对称；⊙BCH=⊙ABC；且OG:GH=1:2； AH=2OD；O,G,H,三点共线，15．旁心：设DABC在ÐA内的旁切圆⊙I1ÐBI1C=900-ÐA； 2r1(b+c-a)ÐAa+b+ca+b-cÐCS=AP；；； =rctg=BP=ÐAIB=DABC1111222226．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系 在△ABC中，内切圆⊙O分别与三边相切于点M,KL，且分别与ABBC边上的帝切圆⊙Oa与BC边切于点H，边和AC这的延长线相切于点Q、点P．设三边BC、CA、AB分别为a,b,c，ÐA,ÐB,ÐC分别为a,b,g，p=1(a+b+c)，内切圆半径为r，旁切圆半径分别为ra,rb,rc，外接圆半径为R，三角形面积为SD，则有如下2关系式：AP=p，AK=p-a，LH=b-c；ra=于三角形周长的一半；ra=rp；直角三角形斜边上的旁切圆的半径等p-a11111=--；ra=(p-b)(p-c)；rarrbrcrrtanb2×tang27．界心 EA如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这MO边两端点之间． 三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线．三角形的周界中线交于一点． BC定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心． 二、例题分析 F例1．设△ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，ÐB=60°，ÐA<ÐC，ÐA的外角平分线交圆O于E， 1 证明：IO=AE；2R

I段OD I B D C求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径 证明记AB=c,BC=a,CA=b，设AI的延长线交△ABC的外接圆O于K，则OK K是圆O的半径，记为R，因为OK⊥BC，所以OK∥AD，从而 2 AIcsinB==2sinBsinC (1) IKRBAÐABI=ÐIBC=，ÐCBK=ÐCAK=，∠AKB=∠ACB=ÐC， 221BBBBCAB×BI×sinsinsin2sinsinAISDABIABA22=sinC×2=22 ∠BAK=，所以 ==2=×1A+BBKCACA2IKSDKBI×BK×BI×sincossincossin222222BC2sinsin22，所以4sinAcosBcosC=1 由、得2sinBsinC=A222sin211设△ABC的BC边上的旁切圆半径为ra，则bcsinA=SDABC=ra(b+c-a) 22bcsinAsinAsinBsinC2RsinAsinBsinC所以ra= =2R×=B+CB-CB+CB+Cb+c-asinB+sinC-sinA2sincos-2sincos2222RsinAsinBsinCABC ==4Rsincoscos=R， B+CBC222sin×2sinsin222即△ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。

证明记AB=c,BC=a,CA=b，△ABC的BC边上的旁切圆半径为ra，△ABC的BC边上的高为ha，设ab，BK=IK，△AKB∽△ACP，AI交BC于P，交外接圆于K，连BK，OK⊥BC，OK=R，PC=b+cADAIAD+OKAKAK又由AD⊥BC，知OK∥AD，有，即,但△AKB∽△ACP，有 ===OKIKOKIKBKh+Rb+caha2SDABCAKACbb+c======ra ，代入上式，得a，R=abBKPCaRab+c-ab+c-ab+c 即△ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径 的外 A证明AB=c,BC=a,CA=b，△ABC的BC边上的旁切圆半径为ra，△ABC接半径R，作II1⊥BC于I1，OO1⊥BC于O1 180o-∠ AOC=900-∠ ABC=∠ BAD ∵∠OAC=2DI1ADDI==∴∠ DAI=∠ OAI，∴AOIOI1O1 O I B C D I1 O1 a+c-ba2+b2-c2(b-c)(b+c-a)a+c-b-= DI1=BI1-BD=-c×cosB=22a2a22SDABCADb+c-aAD×aaa+c-bb-c=,R=AO==∴ I1O1=BO1-BI1=-=ab+c-ab+c-a222， AOr(b+c-a)1=ra。

又SDABC=ra(b+c-a)，∴R=ab+c-a2证明记AB=c,BC=a,CA=b，设AI的延长线交△ABC的外接圆O于K，连OK交BC于O1，则OK⊥BC，作II1⊥BC于I1，则AD∥II1∥OK，由D,I,O三点共线， DI1DIADa+c-ba2+b2-c2(b-c)(b+c-a)a+c-b==-=∴，∵DI1=BI1-BD= -c×cosB=I1O1IOOK22a2a23 aa+c-bb-cb+c-aAD ，∴， -==222aR A2SDABCr(b+c-a)AD×a1 ==ra故R=，又SDABC=ra(b+c-a)，∴R=a b+c-ab+c-ab+c-a2证明连AI并延长交△ABC的外接圆O于K，设O¢旁切圆圆心，则O ¢ 在的 AK O¢延长线上，连OK，过O¢作O¢M⊥BC于M连OM，MK，BI，CI，O¢ B，，OC I¢¢则OK，OM分别为外接圆半径及旁切圆半径又B,I,C,O四点共圆 B CBK=IK=CK，设K为BICO¢的外接圆的圆心，即IK=O¢K。

PKO¢P K又AP×PK=BP×PC=IP×O¢P，∴，又AD∥O¢M， =IPAPPKO¢PMP∴，∴MK∥ID，∠PMK=∠IDP，而D,I,O共线，OK⊥BC，O¢M⊥BC，==IPAPDP∴OK∥O¢M，故∠IOK=∠KMO¢，∠OKI=∠MO¢K，IK=O¢K，∴DOIK@DMKO¢，故OK=O¢M，即R=ra I1O1=BO1-BI1=例4．设M是△ABC的AB边上作一内点，r1,r2,r分别是△AMC、△BMC、△ABC的内切圆半径；q1,q2,q分别是这些三角形在ÐACM、ÐBCM、ÐACB内的旁切圆半径．试证：Cr1r2r×=． q1q2qAMR设ÐCAB=a,ÐABC=b,ÐBCA=g,ÐAMC=d 又设△ABC的内切圆的圆心为R，且与AB切于P，于是 PBÐAPR=ÐBPR=p2，从而有：AB=rcota2+rcotb2=r(cota+cot) 22b由于三角形的角的内、外平分线互相垂直，因而类似地有：AB=qtana2+qtanb2=q(tana2+tanb2) 进而有：r=qtana22=tanatanb；类似的。