认知二重积分概念教学讲义.ppt

第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,,,多元函数积分学及其应用,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、利用对称性计算二重积分,二重积分的概念与性质,第九章,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xOy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,,4)“取极限”,令,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D ,,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,,则,若,不是常数 ,,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小块 .,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,,,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,,在D上的二重积分.,积分和,,,,,,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,,元素d也常记作,二重积分记作,这时,分区域 D ,,因此面积,可用平行坐标轴的直线来划,,,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,,积.,在有界闭区域 D上连续,,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,三、二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,,则有,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,,则至少存在一点,使,使,连续,,因此,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,,它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线,从而,而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上,例2. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,,即: 1.96 I 2,设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,,域D 关于x 轴对称,,则,则,有类似结果.,四、利用对称性计算二重积分,在第一象限部分, 则有,例. 计算,其中D 由,所围成.,,,,,解: 令,(如图所示),显然,,内容小结,1. 二重积分的定义,2. 二重积分的性质,(与定积分性质相似),3. 利用对称性计算二重积分,,被积函数相同, 且非负,,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,,,1. 比较下列积分值的大小关系:,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 < y <1, 故,故在D上有,3. 估计,的值, 其中 D 为,解: 被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,4. 判断,的正负.,解：当,时，,故,又当,时，,于是,。