以剪、折、拼复习特殊四边形.doc

以剪、折、拼复习特殊四边形胡伟琴（数学组）一、剪纸、折叠、拼图游戏与数学思维 创造性思维表现形式之一是想象想象需要丰富的表象和广泛的联想因此，在初中阶段积攒足够的数学表象，有助于展开数学联想，开发创造性思维剪纸、折叠、拼图游戏把问题形象化，能给大脑提供丰富的具体表象游戏过程中可能遇到预料之外的图形，这些图形的积累为后阶段灵感的开发提供足够素材随着对图形的琢磨及尝试，量变到质变的飞跃将会明显体现二、剪纸、拼图中的特殊四边形特殊四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形它们的性质多变，一直是初中学习的难点.三角形是几何研究的基础，研究特殊四边形的性质，须从三角形着手以习题形式研究特殊四边形固然好，但是单纯的练习易引起烦躁心理.通过剪纸游戏，可以让特殊四边形复习的趣味性增强，同时培养数学想象力，为辅助线的出现找到合理解释现提供两个设计方案：设计设计 1 将一个等腰直角三角形纸板剪一刀，得到两个图形把这两个图形拼成特殊四边形请找出尽可能多的拼法拼法分析：以下是 11 种拼法，阴影部分代表裁剪下来的图形.拼图后得到的四边形与原三角形面积相等。

观察剪纸特点，过三角形中位线、中线（图 1－图 6）剪纸，可得平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形、正方形过三角形一边中点（图 7－图 9）剪纸，拼成的图形多为梯形，特殊情况是平行四边形和矩形过三角形任意底角的角平分线（图10）剪纸得直角梯形过斜边上任意一点及直角顶点（图 11）剪纸得等腰梯形推广推广 1 把等腰直角三角形修改为等腰三角形，找出尽可能多的拼法参考设计：过底边上的中线剪纸，过底边上任意一点及顶角顶点剪纸，过底角的角平分线剪纸，过三角形任意一条中位线剪纸，都能做出符合要求的设计推广推广 2 把等腰直角三角形修改为任意三角形，找出尽可能多的拼法.参考设计：过三角形任一内角平分线剪纸，过三角形任意一条中位线剪纸，都能做出符合要求的设计.推广推广 3 剪的次数修改为任意多次，不改变原三角形面积，把剪好的小纸片拼成特殊四边形，找出尽可能多的拼法相信同学们完成设计 1 及推广以后，可以轻松解决下面的练习：1.1 （04 年南京市中考题）用两个边长为 a 的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）. A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形1.2 （04 年深圳市中考题）如图 12，等腰梯形 ABCD 中，AB//CD，AD=BC，延长AB 到 E，使 BE=CD，连结 CE. 求证：CE=CA.1.3 （05 年浙江省中考题）请将四个全等的直角梯形，拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法). 1.4 （04 年安徽省中考题） （1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形.（2）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形.设计设计 2 剪一张矩形纸片，把矩形分成四个独立的三角形纸片，使得这四个三角形能成为两组相似三角形。

找出尽可能多的剪法剪法分析：介绍 9 种剪法把矩形分成两个小矩形，沿小矩形的对角线（图 13－图14）剪开得两对全等三角形，全等是相似的特例沿矩形两条对角线(图 15)剪开，也符合题目要求沿矩形的一条对角线（图 16－图 17）剪开，得到两个全等直角三角形，再把其中一个直角三角形沿斜边上的高剪开，得到两个相似的三角形，重复这个操作一次，共得到四个相互相似的三角形相似具有传递性，这种剪法的技巧是反复运用定理“直角三角形斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似” 沿矩形的一条对角线（图 18－图 20）剪开，得到两个全等直角三角形，再分成两对全等的三角形图 19 暗示，先把矩形分成一对全等三角形和一个平行四边形，平行四边形再分成一对全等三角形，这样可以得到更多的剪法还有一种想法，把矩形的一角翻折（图 21） ，使得矩形的顶点落在对边上，再沿AE、EF、AF 把矩形剪开，得到两个全等三角形和一对相似三角形(△ABE∽△ECF)推广推广 把矩形改为菱形、平行四边形，会有几种剪法？考场上，同学们可以实践剪纸、拼图过程，现场体会图形变化，可降低空间思维的难度试完成以下练习：2.1 （05 年湘西省中考题）一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图 22 形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上。

（1）求证AB⊥ED；（2）若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明2.2 （04 年泸州市中考题）图 23，在口 ABCD 纸片中，AC⊥AB，AC 与 BD 相交于O，将△ABC 沿对角线 AC 翻转 180°，得到△AB′C.（1）求证：以 A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形；（2）若四边形 ABCD 的面积 S＝12cm2求翻转后纸片重叠部分的面积，即 S△ACE三、折叠中的特殊四边形记得图 21 的设计吗？它借助折叠原理构造出相似三角形折叠，隐含全等，新图形与原图形是以折痕为对称轴的对称图形实践折叠操作，加上观察，可以弥补数学理论的薄弱，易于理解四边形的特性矩形纸片折叠一角可得练习 3.1 及它的推广3.1 （05 年扬州市中考题）图 24，将一张矩形纸片 ABCD 的角 C 沿着 GF 折叠（F 在BC 边上，不与 B、C 重合）使得 C 点落在矩形 ABCD 内部的 E 处，FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数满足（ ） A． B． C． D．随着折痕位置的变化而变化推广推广 1 折叠使得点 G 与 D 重合，点 E 落在 DA 上，H 落在 BA 上，图 24 是否出现相似三角形，为什么？推广推广 2 折叠使得点 E 落在 DA 上，G 在 DC 边上，不与 D、C 重合，图 24 中△DGE与△GCF 是否可能相似？若相似，此时 DG:GC 的值是多少？推广时，可改变折叠角度，也可把矩形改为平行四边形，即练习 3.2；把问题改为求长度，即练习 3.3；把图形放在特定的环境，即练习 3.4。

3.2 （05 年深圳市中考题）图 25，口 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的点 F，若△FDE 的周长为 8，△FCB 的周长为22，则 FC 的长为________3.3 （05 年宁波市中考题）矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm，按图 26 方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DE=_______cm3.4 （05 年大连市中考题）图 27，把矩形 OABC 放置在直角坐标系中，OA＝6，OC＝8，若将矩形折叠，使点 B 与 O 重合，得到折痕 EF （1）可以通过________办法，使四边形 AEFO 变到四边形 BEFC 的位置（填“平移” 、 “旋转”或“翻转”） ；（2）求点 E 的坐标；（3）若直线 l 把矩形 OABC 的面积分成相等的两部分，则直线 l必经过点的坐标是______四、游戏的其它推广建议在平面图形中，可以推广到三角形、圆在立体图形中，剪纸游戏可以改为小刀切片游戏，它的效果与剪纸游戏有着异曲同工之效理论结合实践，对特殊四边形将会理解得更透彻，更真实。

附部分参考答案：1.1 D；1.4(2)提示：过三角形中位线剪纸拼成平行四边形，再对平行四边形剪纸，拼成矩形；2.2 S△ACE=3cm2 ；3.1 B；推广1 △DCF、△DEF、△FBH两两相似；推广2 有可能相似，1:2；3.2 7；3.3 5.8；3.4(1)旋转；(2)(6，8-√34)；(3)(3，4)。